ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

この幾何分布の問題は数学検定１級では頻出問題なので、試験時間の短い一次試験では、公式を覚えて、当てはめる方が得策と考えられる。

幾何分布の期待値と分散の公式

[math]E\left( X\right) =\dfrac {1}{p},V\left( X\right) =\dfrac {1-p}{p^{2}}[/math]

幾何分布の期待値と分散の公式の説明はここをご覧ください。

[math]E\left( X\right) =1\div \dfrac {1}{6}=6[/math]・・・（１）の答え

[math]V\left( X\right) =\dfrac {1-\dfrac {1}{6}}{\left( \dfrac {1}{6}\right) ^{2}}=30[/math]・・・（２）の答え

公式を使わない解き方

[math]E\left( X\right) =\sum ^{\infty }_{n=0}n\cdot \dfrac {1}{6}\cdot \left( \dfrac {5}{6}\right) ^{n-1}[/math]

[math]\dfrac {5}{6}E\left[ X\right] =\sum ^{\infty }_{n=0}n\dfrac {1}{6}\left( \dfrac {5}{6}\right) ^{n-2}=\sum ^{\infty }_{n=0}\left( n+1\right) \left( \dfrac {5}{6}\right) ^{n-1}[/math]

[math]E\left[ X\right] -\dfrac {5}{\sigma }E\left[ X\right] =\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {1}{6}\left( \dfrac {5}{6}\right) ^{n-1}=1[/math]

[math]\dfrac {1}{6}E\left[ X\right] =1,E\left[ X\right] =6[/math]

分散も同様に

[math]E\left[ X^{2}\right] -\dfrac {5}{6}\left[ X^{2}\right][/math]

の計算で求めることができる。