ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

この幾何分布の問題は数学検定１級では頻出問題なので、試験時間の短い一次試験では、公式を覚えて、当てはめる方が得策と考えられる。

幾何分布の期待値と分散の公式

$E\left( X\right) =\dfrac {1}{p},V\left( X\right) =\dfrac {1-p}{p^{2}}$

幾何分布の期待値と分散の公式の説明はここをご覧ください。

$E\left( X\right) =1\div \dfrac {1}{6}=6$・・・（１）の答え

$V\left( X\right) =\dfrac {1-\dfrac {1}{6}}{\left( \dfrac {1}{6}\right) ^{2}}=30$・・・（２）の答え

公式を使わない解き方

$E\left( X\right) =\sum ^{\infty }_{n=0}n\cdot \dfrac {1}{6}\cdot \left( \dfrac {5}{6}\right) ^{n-1}$

$\dfrac {5}{6}E\left[ X\right] =\sum ^{\infty }_{n=0}n\dfrac {1}{6}\left( \dfrac {5}{6}\right) ^{n-2}=\sum ^{\infty }_{n=0}\left( n+1\right) \left( \dfrac {5}{6}\right) ^{n-1}$

$E\left[ X\right] -\dfrac {5}{\sigma }E\left[ X\right] =\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {1}{6}\left( \dfrac {5}{6}\right) ^{n-1}=1$

$\dfrac {1}{6}E\left[ X\right] =1,E\left[ X\right] =6$

分散も同様に

$E\left[ X^{2}\right] -\dfrac {5}{6}\left[ X^{2}\right]$

の計算で求めることができる。