微分方程式１９の解説

$y\left( 0\right) =-3$のとき次の微分方程式を解きなさい。

$\dfrac{dy}{dx}=\left( y-x\right) ^{2}$

$y-x=u$とおいて両辺をⅹで微分すると

$\dfrac{dy}{dx}-1=\dfrac{du}{dx}$となり、上の微分方程式は

$\dfrac{du}{dx}=u^{2}-1$となる。

$\dfrac{1}{u^{2}-1}du=dx$を解いて

$\int \dfrac{1}{2}\left\{ \dfrac{1}{u-1}-\dfrac{1}{u+1}\right\} du=\int dx$

$log\dfrac{u-1}{u+1}=2x+c$　　ｃは積分定数

$\dfrac{u-1}{u+1}=\dfrac{y-x-1}{y-x+1}=Ae^{2x}$・・・（１）

Aは積分定数

$y\left( 0\right) =-3$より積分定数$A=\dfrac{-3-0-1}{-3-0+1}=2$

（１）より

$y-x-1=2e^{2x}\left( y-x+1\right)$

$\left( 1-2e^{2x}\right) y=\left( 1-2e^{2x}\right) x+1+2e^{2x}$

$y=x+\dfrac{1+2e^{2x}}{1-2e^{2x}}$・・・答