ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

 

幾何分布の平均の公式は

 

$\mu _{x}=\sum kp\left( 1-p\right) ^{k-1}=\dfrac {1}{p}$

 

分散の公式は

 

$\sigma ^{2}_{x}=\dfrac {1-p}{p^{2}}$

 

（１）平均

 

$E\left[ X\right] =\sum ^{\infty }_{k=0}k\dfrac {3}{8}\left( \dfrac {5}{8}\right) ^{k}$

 

 

$\dfrac {8}{5}E\left[ X\right] =\sum ^{\infty }_{k=0}k\dfrac {3}{8}\left( \dfrac {5}{8}\right) ^{k-1}$

 

右辺の方を幾何分布の平均の公式に当てはめると

 

$\begin{aligned}\dfrac {8}{5}E\left[ X\right] =\dfrac {1}{\dfrac {3}{8}}=\dfrac {8}{3}\\E{}\left[ X\right] =\dfrac {5}{8}\times \dfrac {8}{3}=\dfrac {5}{3}\end{aligned}$

 

 

（２）分散は

 

$V\left( X\right) =\dfrac {1-\dfrac {3}{8}}{\left( \dfrac {3}{8}\right) ^{2}}=\dfrac {40}{9}$

 

 

 

 

 

 

参考事項　　幾何分布の公式の導き方

 

パラメーターｐの幾何分布（０＜ｐ＜１）を考えると

 

$\begin{aligned}P_{x}\left( k\right) =p\left( 1-p\right) ^{k-1}\\ k=1.2.3\ldots \end{aligned}$

 

 

$1+p+p^{2}+p^{3}+\ldots =\sum ^{\infty }_{k=0}p^{k}=\dfrac {1}{1-p}\ldots \left( 1\right)$

 

両辺を微分すると

 

$1+2p+3p^{2}+4p^{3}+\ldots =\sum ^{\infty }_{k=1}kp^{k-1}=\dfrac {1}{\left( 1-p\right) ^{2}}\ldots \left( 2\right)$

 

 

さらに微分すると

 

$2+3\cdot 2p+4\cdot 3p^{2}+\ldots =\sum ^{\infty }_{k=2}k\left( k-1\right) p^{k}=\dfrac {2}{\left( 1-p\right) ^{3}}\ldots \left( 3\right)$

 

平均の場合（２）より

 

$\sum ^{\infty }_{k=1}kp\left( 1-p\right) ^{k-1}=p\sum ^{\infty }_{k=1}k\left( 1-p\right) ^{k-1}=p\cdot \dfrac {1}{p2}=\dfrac {1}{p}$

 

分散の場合は（２）と（３）より

$\begin{aligned}\sigma ^{2}_{x}=E\left[ X^{2}\right] -E^{2}\left[ X\right] \\ =E\left[ X\left( X-1\right) \right] +E\left[ X\right] -E^{2}\left[ X\right] \end{aligned}$

 

 

$\begin{aligned}=\sum ^{\infty }_{k=2}k\left( k-1\right) p\left( 1-p\right) ^{k-1}+\dfrac {1}{p}-\dfrac {1}{P^{2}}\\ =\dfrac {2\left( 1-p\right) }{p^{2}}+\dfrac {p}{p^{2}}-\dfrac {1}{p^{2}}=\dfrac {1-p}{p^{2}}\end{aligned}$