ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

１０本のくじの中に当たりくじが２本あります。この中からランダムにくじを１本引き、当たりくじならば、そこで終了し、当たりくじがでないなら、そのくじを元に戻し、もう一度１０本のくじの中からランダムに１本を引き、当たりくじが出るまでこれを繰り返します。X回目に当たりくじを引くとすると、次の問に答えなさい。

①　Xの期待値を求めなさい。

②　[math] X^{2}[/math]の期待値を求めなさい。

幾何分布の公式

当たりくじを引く確率をｐとするとXの期待値をE[X]，Xの分散をV[X]とおくと、

[math]E\left[ X\right] =\dfrac {1}{p},V\left[ X\right] =\dfrac {1-p}{p^{2}}[/math]となる。

したがって

①

[math]E\left[ X\right] =\dfrac {1}{\dfrac {2}{10}}=5[/math]

①の答え　　　　５

②

Xの分散  [math]V\left( X\right)=\dfrac {1-p}{p^{2}}=\dfrac {1-\dfrac {1}{5}}{\left( \dfrac {1}{5}\right) ^{2}}=20[/math]

[math] E\left[ X^{2}\right] =V\left( X\right) +\left( E\left( X\right) \right) ^{2}[/math]より

[math]E\left[ X^{2}\right] =20+5^{2}=45[/math]

②の答え　　　　　　４５