ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

類題

$ｘ＝x\left(t\right),y=y\left( t\right)$のとき，次の連立微分方程式を

初期条件$x\left( 0\right) =5,y\left( 0\right) =2$の下で解きなさい。

$\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=3x-4y\ldots \left( 1\right) \\ \dfrac{dy}{dt}=x-2y\ldots \left( 2\right) \end{cases}$

(1)より$y=\dfrac{1}{4}\left( 3x-\dfrac{dx}{dt}\right)$

両辺ｔで微分すると

$y'=\dfrac{1}{4}\left( 3x'-\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}\right)$

これを（２）に代入すると

$\dfrac{1}{4}\left( 3x'-\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}\right)=x-\dfrac{2}{4}\left( 3x-\dfrac{dx}{dt}\right)$となる。

$\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}-\dfrac{dx}{dt}-2x=0$

この式の特性方程式は

$\lambda ^{2}-\lambda -2=\left( \lambda +1\right) \left( \lambda -2\right)$

$\lambda =-1,2$

よって一般解は$x=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{2t}$・・・（３）であらわせる。

この一般解を（１）に代入する。

$-C_{1}e^{-t}+2C_{2}e^{2t}=3\left(C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{2t}\right) -4y$

$y=C_{1}e^{-t}+\dfrac{C_{2}e^{2t}}{4}$・・・（４）

（３），（４）と初期条件$x\left( 0\right) =5,y\left( 0\right) =2$より

$C_{1}+C_{2}=5,C_{1}+\dfrac{C_{2}}{4}=2$

これを解いて

$C_{1}=1,C_{2}=4$

求める解は

答　$x=e^{-t}+4e^{2t}$　　　$y=e^{-t}+e^{2t}$