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連立微分方程式2(微分方程式18)

類題

[math]x=x\left(t\right),y=y\left( t\right)[/math]のとき,次の連立微分方程式を

初期条件[math]x\left( 0\right) =5,y\left( 0\right) =2[/math]の下で解きなさい。

 

[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=3x-4y\ldots \left( 1\right) \\ \dfrac{dy}{dt}=x-2y\ldots \left( 2\right) \end{cases}[/math]

 

 

 

 

(1)より[math]y=\dfrac{1}{4}\left( 3x-\dfrac{dx}{dt}\right)[/math]

 

 

両辺tで微分すると

 

 

[math]y'=\dfrac{1}{4}\left( 3x'-\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}\right)[/math]

 

これを(2)に代入すると

 

[math]\dfrac{1}{4}\left( 3x'-\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}\right)=x-\dfrac{2}{4}\left( 3x-\dfrac{dx}{dt}\right)[/math]となる。

 

 

[math]\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}-\dfrac{dx}{dt}-2x=0[/math]

 

この式の特性方程式は

 

[math]\lambda ^{2}-\lambda -2=\left( \lambda +1\right) \left( \lambda -2\right)[/math]

 

[math]\lambda =-1,2[/math]

 

 

よって一般解は[math]x=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{2t}[/math]・・・(3)であらわせる。

 

 

この一般解を(1)に代入する。

 

[math]-C_{1}e^{-t}+2C_{2}e^{2t}=3\left(C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{2t}\right) -4y[/math]

 

 

[math]y=C_{1}e^{-t}+\dfrac{C_{2}e^{2t}}{4}[/math]・・・(4)

 

 

(3),(4)と初期条件[math]x\left( 0\right) =5,y\left( 0\right) =2[/math]より

 

 

[math]C_{1}+C_{2}=5,C_{1}+\dfrac{C_{2}}{4}=2[/math]

 

これを解いて

 

[math]C_{1}=1,C_{2}=4[/math]

 

求める解は

 

答 [math]x=e^{-t}+4e^{2t}[/math]   [math]y=e^{-t}+e^{2t}[/math]

 

 

 

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