ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

[math]f\left( x\right) =\begin{cases}e^{-x}\left( x\geqq 0\right) \\ 0 \left( x <0\right) \end{cases}[/math]

を確率密度関数とする確率変数Xについて、次の問に答えなさい。ただし、eは自然対数の底とします。

①　確率変数Yに対して、ｔを変数としたとき、[math]E\left[ e^{tY}\right][/math]をYの積率（モーメント）母関数といいます。このとき、ｔを変数としたXの積率母関数を求めなさい。

②　確率Zに対し、[math]Z^{3}[/math]の期待値を[math]E\left[ Z^{3}\right][/math]、Zの分散を[math]V\left( Z\right)[/math]とするとき、[math]\dfrac {E\left[ Z^{3}\right] }{\left( V\left( Z\right) \right) ^{3}}[/math]をZの歪度といいます。このとき、Xの歪度を求めなさい。

①

[math]E\left[ e^{tx}\right] =\int ^{\infty }_{0} e^{tx}f\left( x\right) dx=\int ^{\infty }_{0}e^{tx}\cdot e^{-x}dx[/math]

[math]=\int ^{\infty }_{0}e^{\left( t-1\right) x}dx=\dfrac {1}{1-t}[/math]・・・①の答え

②

[math]E\left[ X\right] =\int ^{\infty }_{0}xe^{-x}dx=\left[ -xe^{-x}\right] +\int ^{\infty }_{0}e^{-x}dx=1[/math]

[math]E\left[ X^{2}\right] =\int ^{\infty }_{0}x^{2}e^{-x}dx=\left[ -x^{2}e^{-x}\right];+\int ^{\infty }_{0}2xe^{-x}dx=2[/math]

(上記の計算結果を利用）

[math]E\left[ X^{3}\right] =\int ^{\infty }_{0}x^{3}e^{-x}dx=\left[ -x^{3}e^{-x}\right] ^{\infty }_{0}+\int ^{\infty }_{0}3x^{2}e^{-x}dx=6[/math]

(上記の計算結果を利用）

[math]V\left[ X\right] =E\left[ X^{2}\right] -\left( E\left[ X\right] \right) ^{2}=2-1=1[/math]

したがって

[math]\dfrac {E\left[ X^{3}\right] }{\left\{ V\left[ X\right] \right\} ^{\dfrac {3}{2}}}=\dfrac {6}{1}=6[/math]・・・歪度　６・・・②の答え