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積率母関数と歪度(統計25)

 

f(x)={ex(x0)0(x<0)

 

を確率密度関数とする確率変数Xについて、次の問に答えなさい。ただし、eは自然対数の底とします。

 

 

 

① 確率変数Yに対して、tを変数としたとき、E[etY]をYの積率(モーメント)母関数といいます。このとき、tを変数としたXの積率母関数を求めなさい。

 

 

② 確率Zに対し、Z3の期待値をE[Z3]、Zの分散をV(Z)とするとき、E[Z3](V(Z))3をZの歪度といいます。このとき、Xの歪度を求めなさい。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E[etx]=0etxf(x)dx=0etxexdx

 

 

 

=0e(t1)xdx=11t・・・①の答え

 

 

 

 

 

E[X]=0xexdx=[xex]+0exdx=1

 

 

E[X2]=0x2exdx=[x2ex];+02xexdx=2

(上記の計算結果を利用)

 

 

E[X3]=0x3exdx=[x3ex]0+03x2exdx=6

(上記の計算結果を利用)

 

 

V[X]=E[X2](E[X])2=21=1

 

 

 

したがって

 

 

 

E[X3]{V[X]}32=61=6・・・歪度 6・・・②の答え

 

 

 

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