
f(x)={e−x(x≧0)0(x<0)
を確率密度関数とする確率変数Xについて、次の問に答えなさい。ただし、eは自然対数の底とします。
① 確率変数Yに対して、tを変数としたとき、E[etY]をYの積率(モーメント)母関数といいます。このとき、tを変数としたXの積率母関数を求めなさい。
② 確率Zに対し、Z3の期待値をE[Z3]、Zの分散をV(Z)とするとき、E[Z3](V(Z))3をZの歪度といいます。このとき、Xの歪度を求めなさい。
①
E[etx]=∫∞0etxf(x)dx=∫∞0etx⋅e−xdx
=∫∞0e(t−1)xdx=11−t・・・①の答え
②
E[X]=∫∞0xe−xdx=[−xe−x]+∫∞0e−xdx=1
E[X2]=∫∞0x2e−xdx=[−x2e−x];+∫∞02xe−xdx=2
(上記の計算結果を利用)
E[X3]=∫∞0x3e−xdx=[−x3e−x]∞0+∫∞03x2e−xdx=6
(上記の計算結果を利用)
V[X]=E[X2]−(E[X])2=2−1=1
したがって
E[X3]{V[X]}32=61=6・・・歪度 6・・・②の答え
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