ベクトル３重積のヤコビの等式

（１）次の式を証明せよ

[math]a\times\left( b\times c\right)[/math] [math]=\left( a\cdot c\right) b-\left( a\cdot b\right) c[/math]

[math]a=\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) ,b=\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right),c=\left( c_{1},c_{2},c_{3}\right)[/math]とおくと

[math]b\times c=\left( b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2},b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3},b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}\right)[/math]になる。

問題の式の左辺は

[math]a\times \left( b\times c\right)[/math]=

(  [math] a_{2} \left( b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}\right)[/math] -[math] a_{3} \left( b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3}\right)[/math] ,[math] a_{3} \left( b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}\right)[/math] -[math] a_{1} \left( b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}\right)[/math]

 ,[math]  a_{1} \left( b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3}\right)[/math] -[math] a_{2} \left( b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}\right) [/math])=

[math]( \left( a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3}\right) b_{1}-\left( a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\right) c_{1},\left( a_{3}, c_{3}+a_{1}c_{1}\right)b_{2} -\left( a_{3}b_{3}+a_{1}b_{1}\right) c_{2},\left( a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}\right) b_{3}-\left( a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}\right) c_{3})[/math]

・・・（A）

右辺は

[math]\left( a\cdot c\right) b-\left( a\cdot b\right) c[/math]=

([math]\left( a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3}\right) b_{1}-\left( a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\right) c_{1}[/math],

[math] \left( a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3}\right)[/math][math] b_{2}-\left( a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\right) c_{2}[/math],

[math] \left( a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3}\right) b_{3}[/math][math] -\left(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\right) c_{3}[/math])=

[math]( \left( a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3}\right) b_{1}-\left( a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\right) c_{1},\left( a_{2}, c_{3}+a_{1}c_{1}\right) -\left( a_{3}b_{3}+a_{1}b_{1}\right) c_{2},\left( a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}\right) b_{3}-\left( a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}\right) c_{3})[/math]

・・・（B）

（A），（B）より

[math]a\times\left( b\times c\right)[/math] [math]=\left( a\cdot c\right) b-\left( a\cdot b\right) c[/math]

（２）

（１）を使って、[math]a\times\left( b\times c\right)＋b\times\left(c\times a\right)+c\times\left( a\times b\right)＝０[/math]

を証明せよ。

（１）より

[math]a\times\left( b\times c\right)[/math] [math]=\left( a\cdot c\right) b-\left( a\cdot b\right) c[/math]

[math]b\times\left( c\times a\right)[/math] [math]=\left( b\cdot a\right) c-\left( b\cdot c\right) a[/math]

[math]c\times\left( a\times b\right)[/math] [math]=\left( c\cdot b\right) a-\left( c\cdot a\right)b[/math]

各辺を加えると求める等式を得る。

[math]a\times\left( b\times c\right)＋b\times\left(c\times a\right)+c\times\left( a\times b\right)＝０[/math]

この等式をヤコビの等式という。