ベクトル３重積のヤコビの等式

（１）次の式を証明せよ

$a\times\left( b\times c\right)$ $=\left( a\cdot c\right) b-\left( a\cdot b\right) c$

$a=\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) ,b=\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right),c=\left( c_{1},c_{2},c_{3}\right)$とおくと

$b\times c=\left( b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2},b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3},b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}\right)$になる。

問題の式の左辺は

$a\times \left( b\times c\right)$=

(  $a_{2} \left( b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}\right)$ -$a_{3} \left( b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3}\right)$ ,$a_{3} \left( b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}\right)$ -$a_{1} \left( b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}\right)$

 ,$a_{1} \left( b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3}\right)$ -$a_{2} \left( b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}\right)$)=

$( \left( a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3}\right) b_{1}-\left( a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\right) c_{1},\left( a_{3}, c_{3}+a_{1}c_{1}\right)b_{2} -\left( a_{3}b_{3}+a_{1}b_{1}\right) c_{2},\left( a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}\right) b_{3}-\left( a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}\right) c_{3})$

・・・（A）

右辺は

$\left( a\cdot c\right) b-\left( a\cdot b\right) c$=

($\left( a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3}\right) b_{1}-\left( a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\right) c_{1}$,

$\left( a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3}\right)$$b_{2}-\left( a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\right) c_{2}$,

$\left( a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3}\right) b_{3}$$-\left(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\right) c_{3}$)=

$( \left( a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3}\right) b_{1}-\left( a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\right) c_{1},\left( a_{2}, c_{3}+a_{1}c_{1}\right) -\left( a_{3}b_{3}+a_{1}b_{1}\right) c_{2},\left( a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}\right) b_{3}-\left( a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}\right) c_{3})$

・・・（B）

（A），（B）より

$a\times\left( b\times c\right)$ $=\left( a\cdot c\right) b-\left( a\cdot b\right) c$

（２）

（１）を使って、$a\times\left( b\times c\right)＋b\times\left(c\times a\right)+c\times\left( a\times b\right)＝０$

を証明せよ。

（１）より

$a\times\left( b\times c\right)$ $=\left( a\cdot c\right) b-\left( a\cdot b\right) c$

$b\times\left( c\times a\right)$ $=\left( b\cdot a\right) c-\left( b\cdot c\right) a$

$c\times\left( a\times b\right)$ $=\left( c\cdot b\right) a-\left( c\cdot a\right)b$

各辺を加えると求める等式を得る。

$a\times\left( b\times c\right)＋b\times\left(c\times a\right)+c\times\left( a\times b\right)＝０$

この等式をヤコビの等式という。