３次正方行列のｎ乗（行列４６）

類題

[math]B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -2 & 1 & 4 \end{pmatrix}[/math]のとき

[math]B^{n}=pB^{2}+qB+rE[/math]で表せるとき、

ｐ，ｑ，ｒのそれぞれの値を求めなさい。

[math]\left| \lambda E-B\right| =\begin{vmatrix} \lambda-1 & -1 & -1 \\ -1 & \lambda -2 & 1 \\ 2 & -1 &\lambda-4 \end{vmatrix}=\lambda ^{3}-7\lambda ^{2}+16\lambda-12[/math]

[math]=\left( \lambda -2\right) ^{2}\left( \lambda -3\right) =0[/math]

これを解いて固有値は[math]\lambda =3,　　2[/math]（重解）

ここで固有方程式を用いると次のようにできる。

[math]x^{n}[/math]を[math]\left( x-2\right) ^{2}\left( x-3\right)[/math]で割った商を[math]Q\left( x\right)[/math]余りを[math]px^{2}+qx+r[/math]とおくと

[math]x^{n}=\left( x-2\right) ^{2}\left( x-3\right) Q\left( x\right) +px^{2}+qx+r[/math]・・・（１）

両辺を微分して

[math]nx^{n}=\left\{ 2\left( x-2\right) \left( x-3\right) +\left( x-2\right) ^{2}\right\} Q\left( x\right) +\left( x-2\right) ^{2}\left( x-3\right) Q'\left( x\right)+2px+q[/math]・・・（２）

（１），（２）式にｘ＝２，３を代入して

[math]2^{n}=4p+2q+r[/math]

[math]3^{n}=9p+3q+r[/math]

[math]n2^{n-1}=4p+q[/math]

上記の３元連立方程式を解いて

[math]p=3^{n}-2^{n}-n2^{n-1}[/math]

[math]q=5n2^{n-1}+4\cdot 2^{n-1}-4\cdot 3^{n}[/math]

[math]r=-3\cdot 2^{n}-6n2^{n-1}+4\cdot 3^{n}[/math]

となる。