３次正方行列のｎ乗（行列４６）

類題

$B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -2 & 1 & 4 \end{pmatrix}$のとき

$B^{n}=pB^{2}+qB+rE$で表せるとき、

ｐ，ｑ，ｒのそれぞれの値を求めなさい。

$\left| \lambda E-B\right| =\begin{vmatrix} \lambda-1 & -1 & -1 \\ -1 & \lambda -2 & 1 \\ 2 & -1 &\lambda-4 \end{vmatrix}=\lambda ^{3}-7\lambda ^{2}+16\lambda-12$

$=\left( \lambda -2\right) ^{2}\left( \lambda -3\right) =0$

これを解いて固有値は$\lambda =3,　　2$（重解）

ここで固有方程式を用いると次のようにできる。

$x^{n}$を$\left( x-2\right) ^{2}\left( x-3\right)$で割った商を$Q\left( x\right)$余りを$px^{2}+qx+r$とおくと

$x^{n}=\left( x-2\right) ^{2}\left( x-3\right) Q\left( x\right) +px^{2}+qx+r$・・・（１）

両辺を微分して

$nx^{n}=\left\{ 2\left( x-2\right) \left( x-3\right) +\left( x-2\right) ^{2}\right\} Q\left( x\right) +\left( x-2\right) ^{2}\left( x-3\right) Q'\left( x\right)+2px+q$・・・（２）

（１），（２）式にｘ＝２，３を代入して

$2^{n}=4p+2q+r$

$3^{n}=9p+3q+r$

$n2^{n-1}=4p+q$

上記の３元連立方程式を解いて

$p=3^{n}-2^{n}-n2^{n-1}$

$q=5n2^{n-1}+4\cdot 2^{n-1}-4\cdot 3^{n}$

$r=-3\cdot 2^{n}-6n2^{n-1}+4\cdot 3^{n}$

となる。