空間にある平行でない2直線の最短距離の求め方(ベクトル16)

[math]l_{1},l_{2}[/math]の外積の絶対値と同じ面積の平行四辺形を上底面、底面と考えて、ｄを高さとする平行六面体と上底面と底面が同じで[math](x_{1}-x_{2})[/math]を斜辺とする平面六面体の体積が同じことを使って求める。

平行でない[math]l_{1},l_{2}[/math]の２直線の最短距離をｄとする。

また、[math]l_{1}[/math]上の定点の位置ベクトルを[math]x_{1}[/math]，

[math]l_{2}[/math]上の定点の位置ベクトルを[math]x_{2}[/math]とする。

[math](x_{1}-x_{2}),l_{1},l_{2}[/math]　の３つベクトルを使って平面六面体の体積Vを計算する。

スカラー３重積は[math]l_{1},l_{2}[/math]の外積に[math]（x_{1}-x_{2}）[/math]との内積を計算するので

[math]V=\left|( l_{1}×l_{2}\right) \cdot \left( x_{1}-x_{2}\right)|[/math]・・・（１）

一方、ｄを高さとする平行六面体の体積は

[math]\left| l_{1}\times l_{2}\right|[/math]　を底面積，ｄを高さとみると、

[math]V=\left| l_{1}\times l_{2}\right| d[/math]・・・（２）である。

したがって、同じ平行六面体の体積だから　　（１）＝（２）

[math]V=\left| l_{1}\times l_{2}\right| d=\left|( l_{1}×l_{2}\right) \cdot \left( x_{1}-x_{2}\right)|[/math]・・・（３）

２直線が平行でないから

[math]\left| l_{1}\times l_{2}\right| \neq 0[/math]だから

(３)の式の両辺を[math]\left| l_{1}\times l_{2}\right|[/math]で割れば

[math]　d=\dfrac{\left| \left( l_{1}×l_{2}\right) \cdot \left( x_{1}-x_{2}\right) \right| }{\left| \left( l_{1}×l_{2}\right) \right| }[/math]

最短距離ｄが得られる。