空間にある平行でない2直線の最短距離の求め方(ベクトル16)

$l_{1},l_{2}$の外積の絶対値と同じ面積の平行四辺形を上底面、底面と考えて、ｄを高さとする平行六面体と上底面と底面が同じで$(x_{1}-x_{2})$を斜辺とする平面六面体の体積が同じことを使って求める。

平行でない$l_{1},l_{2}$の２直線の最短距離をｄとする。

また、$l_{1}$上の定点の位置ベクトルを$x_{1}$，

$l_{2}$上の定点の位置ベクトルを$x_{2}$とする。

$(x_{1}-x_{2}),l_{1},l_{2}$　の３つベクトルを使って平面六面体の体積Vを計算する。

スカラー３重積は$l_{1},l_{2}$の外積に$（x_{1}-x_{2}）$との内積を計算するので

$V=\left|( l_{1}×l_{2}\right) \cdot \left( x_{1}-x_{2}\right)|$・・・（１）

一方、ｄを高さとする平行六面体の体積は

$\left| l_{1}\times l_{2}\right|$　を底面積，ｄを高さとみると、

$V=\left| l_{1}\times l_{2}\right| d$・・・（２）である。

したがって、同じ平行六面体の体積だから　　（１）＝（２）

$V=\left| l_{1}\times l_{2}\right| d=\left|( l_{1}×l_{2}\right) \cdot \left( x_{1}-x_{2}\right)|$・・・（３）

２直線が平行でないから

$\left| l_{1}\times l_{2}\right| \neq 0$だから

(３)の式の両辺を$\left| l_{1}\times l_{2}\right|$で割れば

$d=\dfrac{\left| \left( l_{1}×l_{2}\right) \cdot \left( x_{1}-x_{2}\right) \right| }{\left| \left( l_{1}×l_{2}\right) \right| }$

最短距離ｄが得られる。