ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

負の２項分布の公式

事象S（確率ｐ）と事象F（確率ｑ＝１－ｐ）に分かれるベルヌーイ試行でSがｒ回起こるまでに、Fの起こる回数Xの確率分布は

$P( X= k) =\begin{pmatrix} r+k-1 \\ k \end{pmatrix}p^{r}q^{k}=\dfrac{\left( n+k-1\right) !}{\left( n-1\right) !k!}p^{r}q^{k}( k= 0,1,2\ldots )$

となる。これを負の２項分布といいます。

なぜ負の２項分布と呼ばれるかというと

$f\left( x\right) =\left( 1-x\right) ^{-r}$のマクローリン展開は

$\left( 1-x\right) ^{-r}=1+\dfrac{r}{1!}x+\dfrac{\left( r+1\right) ^{r}}{2!}+\dfrac{\left( r+2\right) \left( r+1\right) r}{3!}+\ldots$

$=\sum ^{\infty }_{k=0}\begin{pmatrix} r+k-1 \\ k \end{pmatrix}x^{k}$　は負の２項展開と呼ばれている

からです。

負の２項分布の平均の公式

$E\left[ X\right] =\sum ^{\infty }_{k=0}k\begin{pmatrix} r+k-1 \\ k \end{pmatrix}p^{r}q^{k}=\dfrac{rq}{p}=\dfrac{r\left( 1-p\right) }{p }$

負の２項分布の分散の公式

$V\left[ x\right] =\sum ^{\infty }_{k=0}\left( k-\dfrac{rq}{p}\right) ^{2}\begin{pmatrix} r+k-1 \\ k \end{pmatrix}p^{r}q^{k}=\dfrac{rq}{p^{2}}=\dfrac{r\left( 1-p\right) }{p^{2}}$