ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

ある実数λに対して

 

 

[math]\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\tan x-x-\lambda x^{3}}{x^{5}}[/math]

 

 

が有限値をとるとき

 

 

①λの値を求める。②上の式の極限値を求める。

 

 

 

①      ロピタルの定理より

 

 

[math]\dfrac {\left( \tan x-x-\lambda x^{3}\right) '}{\left( x^{6}\right) }=\dfrac {\left( \tan x\right) ^{1}-1-3\lambda x^{2}}{5x^{4}}=\dfrac {\tan ^{2}x-3\lambda x^{2}}{5x^{4}}[/math]

 

 

[math]\because \left( \tan x\right) '=\dfrac {1}{\cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x[/math]

 

 

 

分子、分母をさらに微分して

 

 

[math]\dfrac {2\tan x\left( 1+\tan ^{2}x\right) -6\lambda x}{20x^{3}}[/math]　

 

 

 

[math]=\dfrac {\tan x+\tan ^{3}x-3\lambda x}{10x^{3}}[/math]

 

 

 

さらに微分して

 

 

[math]\dfrac {1+\tan ^{2}x+3\tan ^{2}x\left( 1+\tan ^{2}x\right) -3\lambda }{30x^{2}}=\dfrac {\left( 1-3\lambda \right) +4\tan ^{2}x+3\tan ^{4}x }{30x^{2}}[/math]           

  ・・・（１）

 

 

ｘ→０のとき、（１）の式で分母→０なり、分子→０になるので

 

１－３λ＝０

 

 

[math]\lambda =\dfrac {1}{3}[/math]・・・①の答え

 

 

 

②

 

（１）の式に [math]\lambda =\dfrac {1}{3}[/math]を代入して分母、分子の微分を続ける。

 

 

[math]\dfrac {8\tan x\left( 1+\tan ^{2}x\right) +12\tan ^{3}x\left( 1+\tan ^{2}x\right) }{60x}=\dfrac {2\tan x+5\tan ^{3}x+3\tan ^{5}x}{15}[/math]

 

 

分母、分子をさらに微分して

 

 

[math]\dfrac {2\left( 1+\tan ^{2}x\right) +15\tan ^{2}x\left( 1+\tan ^{2}x\right) +15\tan ^{4}x\left( 1+\tan ^{2}x\right) }{15}[/math]

 

 

[math]=\dfrac {2+17\tan ^{2}x+30\tan ^{4}x+15\tan ^{6}x}{15}[/math]

 

 

[math]\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2+17\tan ^{2}x+30\tan ^{4}x+15\tan ^{6}x}{15}=\dfrac {2}{15}[/math]

 

 

[math]\dfrac {2}{15}[/math]・・・②の答え