ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

次の級数が収束するような実数ｘの値の範囲を求める。

 

[math]\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {3^{n}}{\sqrt [3] {n}}x^{n}[/math]　

 

 

 

 

 

[math]\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {3^{n}}{\sqrt [3] {n}}x^{n}=\sum ^{\infty }_{n=1}a_{n}x^{n}[/math]とおくと、

 

 

[math]a_{n}=\dfrac {3^{n}}{\sqrt [3] {n}}[/math]なので

 

 

[math]\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\left| a_{n+1}\right| }{\left| a_{n}\right| }=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {3^{n+1}}{3^{n}}\left( \dfrac {n}{n+1}\right) ^{\dfrac {1}{3}}=3[/math]

 

 

 

収束半径は逆数の[math]\dfrac {1}{3}[/math]になる。したがって確実に収束するｘの範囲は　[math]-\dfrac {1}{3}< x <\dfrac {1}{3}[/math]

 

 

 

問題は境界線の　[math]x=-\dfrac {1}{3},x=\dfrac {1}{3}[/math]　のときはどうなるかを考える。

 

 

 

[math]x=-\dfrac {1}{3}[/math]のとき、

 

 

[math]\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {3^{n}}{\sqrt [3] {n}}\left( -\dfrac {1}{3}\right) ^{n}=\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {\left( -1\right) ^{n}}{\sqrt [3] {n}}=-1+\dfrac {1}{2^{\dfrac {1}{3}}}-\dfrac {1}{3^{\dfrac {1}{3}}}+\dfrac {1}{4^{\dfrac {1}{3}}}\ldots[/math]　は正負が入れ替わる交代級数で

 

 

 

 

[math]\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{\sqrt [3] {n}}=0[/math]なので収束する。

 

 

 

[math]x=\dfrac {1}{3}[/math]のとき

 

 

[math]\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {3^{n}}{\sqrt [3] {n}}\left( \dfrac {1}{3}\right) ^{n}=\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {1}{\sqrt [3] {n}}=1+\dfrac {1}{2^{\dfrac {1}{3}}}+\dfrac {1}{3^{\dfrac {1}{3}}}+\dfrac {1}{4^{\dfrac {1}{3}}}+\ldots[/math]　

 

は正項級数であるがこのままでは判断できないので、コーシーの積分判別法を使う。

 

 

 

 

ｆ（ｘ）をｘ≧１の単調減少な正値連続関数であれば、

 

 

 

[math]\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {1}{n^{\dfrac {1}{3}}}[/math]の収束か発散かを判定するには　[math]\int ^{\infty }_{1}\dfrac {1}{x^{\dfrac {1}{3}}}dx[/math]　を調べれば判定できる。

 

 

 

[math]\int ^{\infty }_{1}\dfrac {1}{x^{\dfrac {1}{3}}}dx=\lim _{R\rightarrow \infty }\left[ \dfrac {x^{\dfrac {2}{3}}}{\dfrac {2}{3}}\right] ^{R}_{1}=\lim _{R\rightarrow \infty }\dfrac {3}{2}\left( R^{\dfrac {2}{3}}-1\right) =\infty[/math]

 

 

 

[math]x=\dfrac {1}{3}[/math]では　[math]\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {3^{n}}{\sqrt [3] {n}}x^{n}[/math]は発散する。

 

 

したがって

 

 

 

収束するｘの範囲は　[math]-\dfrac {1}{3}\leqq x <\dfrac {1}{3}[/math]・・・答え

 

 

 

 

 

 

参考事項

 

 

 

 

コーシーの積分判定法（発散・収束）

 

 

ｆ（ｘ）をｘ≧１の単調減少である正値連続関数とすると

 

 

[math]\sum ^{\infty }_{n=1}f\left( n\right) ,\int ^{\infty }_{1}t\left( x\right) dx[/math]　はともに収束するかまたは、発散する。

 

 

 

[math]\sum ^{\infty }_{n=1}f\left( n\right)[/math]の収束するか発散するかの判定は

 

 

[math]\int ^{\infty }_{1}f\left( x\right) dx[/math]の収束・発散を調べるとわかるという判別法。