ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

①では、$\dfrac {1}{n^{2}\left( n+1\right) ^{2}}$　を部分分解する。

②では$\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {1}{n^{2}\left( n+1\right) ^{2}}$　の値を求める。

ただし、$\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {1}{n^{2}}=\dfrac {\pi ^{2}}{6}$とする。

①　

$\dfrac {1}{n^{2}\left( n+1\right) ^{2}}=\dfrac {1}{n^{2}}-\dfrac {1}{n\left( n+1\right) }+\dfrac {1}{\left( n+1\right) ^{2}}-\dfrac {1}{n\left( n+1\right) }$

$=\dfrac {1}{n^{2}}+\dfrac {1}{\left( n+1\right) ^{2}}-\dfrac {2}{n\left( n+1\right) }$・・・①の答え

②

$\dfrac {1}{n^{2}\left( n+1\right) ^{2}}=\dfrac {1}{n^{2}}+\dfrac {1}{\left( n+1\right) ^{2}}-2\left( \dfrac {1}{n}-\dfrac {1}{n+1}\right)$より

$\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {1}{n^{2}\left( n+1\right) ^{2}}=\left( \sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {1}{n^{2}}+\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {1}{n^{2}}\right) -\dfrac {1}{1^{2}}-\sum ^{\infty }_{n=1}2\left( \dfrac {1}{n}-\dfrac {1}{n+1}\right)$

$=\dfrac {\pi ^{2}}{6}+\dfrac {\pi ^{2}}{6}-1-2= \dfrac {\pi ^{2}}{3}-3$・・・②の答え