ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

[math][/math]を初項１１７、公差ー６の等差数列の初項から第ｎ項までの和とします。このとき、次の極限値を求める。

　　　　　　　　[math]\lim _{x\rightarrow 0}\left( \sum ^{30}_{k=1}S^{x}_{k}\right) ^{\dfrac {1}{x}}[/math]

[math]S_{k}=117k+\dfrac {\left( k-1\right) \cdot \left( -6\right) }{2}k=-3k^{2}+120k[/math]

[math]=-3\left( k-20\right) ^{2}+1200[/math]

１≦ｋ≦３０では、ｋ＝２０のとき[math]S_{k}[/math]は最大値　１２００をとる。

したがって

[math]\max \left\{ S_{1},S_{2},S_{3},\ldots S_{30}\right\} =S_{20}=1200[/math]

[math]\left( \sum ^{30}_{k=1}S^{x}_{k}\right) ^{\dfrac {1}{x}}=\left( S^{x}_{1}+S^{x}_{2}+\ldots \ldots +S^{x}_{20}+\ldots +S^{x}_{30}\right) ^{\dfrac {1}{x}}[/math]を調べる。

ｘ→∞を考えるので、ｘ＞０とする。

[math]\left( S^{x}_{20}\right) ^{\dfrac {1}{x}} <\left( S^{x}_{1}+S^{x}_{2}+\ldots \ldots +S^{x}_{20}+\ldots +S^{x}_{30}\right) ^{\dfrac {1}{x}}<\left( 30S^{x}_{20}\right) ^{\dfrac {1}{x}}[/math]

[math]\lim _{x\rightarrow \infty }\left( S^{x}_{20}\right) ^{\dfrac {1}{x}}=S_{20}=1200[/math]

[math]\lim _{x\rightarrow \infty }\left( 30S^{x}_{20}\right) ^{\dfrac {1}{x}}=1200[/math]（[math]\lim _{x\rightarrow \infty }30^{\dfrac {1}{x}}=1[/math]より）

したがって、はさみうちの原理より

[math]\lim _{x\rightarrow 0}\left( \sum ^{30}_{k=1}S^{x}_{k}\right) ^{\dfrac {1}{x}}=1200[/math]・・・答え