ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

$\sum ^{\infty }_{k=1}\dfrac {k^{3}}{k!}$ を求める。

$\sum ^{\infty }_{k=1}\dfrac {k^{3}}{k!}=\sum ^{\infty }_{k=1}\dfrac {k\left( k-1\right) \left( k-2\right) +3k^{2}-2k}{k!}$　

$=\sum ^{\infty }_{k=1}\dfrac {k\left( k-1\right) \left( k-2\right) }{k!}+3\sum ^{\infty }_{k=1}\dfrac {k^{2}}{k!}-2\sum ^{\infty }_{k=1}\dfrac {k}{k!}$

$=\sum ^{\infty }_{k=3}\dfrac {1}{\left( k-3\right) !}+3\sum ^{\infty }_{k=1}\dfrac {k\left( k-1\right) +k}{k!}-2\sum ^{\infty }_{k=1}\dfrac {1}{\left( k-1\right) !}$

$=\sum ^{\infty }_{k=0}\dfrac {1}{k!}+3\sum ^{\infty }_{k=2}\dfrac {1}{\left( k-2\right) !}+3\sum ^{\infty }_{k=1}\dfrac {1}{\left( k-1\right) !}-2\sum ^{\infty }_{k=0}\dfrac {1}{k!}$

$=e+3\sum ^{\infty }_{k=0}\dfrac {1}{k!}+3\sum ^{\infty }_{k=0}\dfrac {1}{k!}-2e$　

$= e+3e+3e-2e= 5$　・・・答え

参考事項

$\sum ^{\infty }_{k=1}\dfrac {k^{4}}{k!}$

$\sum ^{\infty }_{k=1}\dfrac {k^{4}}{k!}=\sum ^{\infty }_{k=1}\dfrac {k\left( k-1\right) \left( k-2\right) \left( k-3\right) +6k\left( k-1\right) \left( k-2\right) +7k\left( k-1\right) +k}{k!}$

$=\sum ^{\infty }_{k=4}\dfrac {1}{\left( k-4\right) !}+6\sum ^{\infty }_{k=3}\dfrac {1}{\left( k-3\right) !}+7\sum ^{\infty }_{k=2}\dfrac {1}{\left( k-2\right) !}+\sum ^{\infty }_{k=1}\dfrac {1}{\left( k-1\right) !}$

$=e+6e+7e+e=15e$