ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

[math]\lim _{x\rightarrow +0}\left( \dfrac {\tan x}{x}\right) ^{\dfrac {1}{x^{2}}}[/math] を求める。

[math]\tan x=x+\dfrac {1}{3!}\cdot 2x^{3}+O\left( x^{5}\right)[/math]

[math]\dfrac {\tan x}{x}=1+\dfrac {1}{3}x^{2}+O\left( x^{4}\right)[/math]

[math]\lim _{x\rightarrow +0}\left( \dfrac {\tan x}{x}\right) ^{\dfrac {1}{x^{2}}}=\lim _{x\rightarrow +0}\left( 1+\dfrac {1}{3}x^{2}+O\left( x^{4}\right) \right)^{\dfrac {1}{x^{2}}}[/math]

[math]\begin{aligned}.\\ =\lim _{x\rightarrow +0}\left( 1+\dfrac {1}{\dfrac {3}{x^{2}}}+O\left( x^{4}\right) \right) ^{\dfrac {3}{x^{2}}\cdot \dfrac {1}{3}}=e^{\dfrac {1}{3}}\end{aligned}[/math]

・・・答え