ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

 

 

[math]\lim _{n\rightarrow \infty }n\left( e-\left( 1+\dfrac {1}{n}\right) ^{n}\right)[/math]

 

 

ｎ＝１/xとおくと

 

 

[math]\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {e-\left( 1+x\right) ^{\dfrac {1}
{x}}}{x}[/math]

 

 

となり、この極限値を求めればよいことになる。ロピタルの定理より上式は

 

[math]\ lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {d}{dx}\left( -\left( 1+x\right) ^{\dfrac {1}{x}}\right) }{1}[/math]

 

 

上式の極限値を求めいくことにする。上式の分子のかっこの中を

 

[math]f\left( x\right) =-\left( 1+x\right) ^{\dfrac {1}{x}}[/math]

 

とおき、両辺の式の対数をとる。

 

 

[math]\log_{e} f\left( x\right) =-log_{e}\left( 1+x\right) ^{\dfrac {1}{x}}[/math]

 

両辺の式をｘで微分する、

 

 

[math]\dfrac {f'\left( x\right) }{\left| f\left( x\right) \right| }=\left( -\dfrac {\log_{e} \left( x+1\right) }{x}\right) ^{'}[/math]

 

 

一方、右式のかっこの中を展開すると、

 

 

[math]-\left( x-\dfrac {1}{2}x^{2}+\dfrac {1}{3}x^{3}-\ldots \right)\div x[/math]

 

 

 

 

 

[math]=-1+\dfrac {1}{2}x-\dfrac {1}{3}x^{2}+\ldots[/math]

 

上の式をXで微分すると、

 

 

[math]\left\{ -\dfrac {\log _{e}\left( x+1\right) }{x}\right\} ^{'}=\dfrac {1}{2}-\dfrac {2}{3}x+\ldots[/math]

 

これより、極限値を求めると、

 

[math]f'\left( x\right) =\left| f\left( x\right) \right| \cdot \left( -\dfrac {\log_{e} \left( x+1\right) }{x}\right) ^{'} [/math]

 

[math]=\left| -\left( 1+x\right) ^{\dfrac {1}{x}}\right| \cdot \left( \dfrac {1}{2}-\dfrac {2}{3}x+\ldots \right)[/math]

 

[math]\lim _{x\rightarrow 0}f'\left( x\right) =\left| \lim _{x\rightarrow 0}-\left( 1+x\right) ^{\dfrac {1}{x}}\right| \cdot \left(\dfrac {1}{2}\right)[/math]

 

 

[math]\lim _{x\rightarrow 0}f'\left( x\right) =\dfrac {e}{2}[/math]

 

 

[math]\lim _{n\rightarrow \infty }n\left( e-\left( 1+\dfrac {1}{n}\right) ^{n}\right) =\dfrac {e}{2}[/math]

 

 

別解

 

 

[math]\dfrac {1}{n}=x[/math]とおくと

 

与式[math]=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {e-\left( 1+x\right) ^{\dfrac {1}{x}}}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {e-e^{\dfrac {1}{x}\log_{e}\left( 1+x\right) }}{x}[/math]・・・（１）

 

 

また、

 

[math]\log _{e}\left( 1+x\right) =x-\dfrac {1}{2}x^{2}+\dfrac {1}{3}x^{3}-\dfrac {1}{4}x^{4}+\ldots \left( -1\leq x\leqq1 \right)[/math]

 

[math]\dfrac {\log _{e}\left( 1+x\right) }{x}=1-\dfrac {1}{2}x+\dfrac {1}{3}x^{2}-\dfrac {1}{4}x^{3}+\ldots[/math]となるから

 

 

 

（１）=[math]\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {e-e^{1-\dfrac {x}{2}+\dfrac {x^{2}}{3}-\dfrac {x^{3}}{4}+\ldots }}{x}[/math]

 

 

[math]=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {e\left( 1-e^{-\dfrac {x}{2}+\dfrac {x^{2}}{3}-\dfrac {x^{3}}{4}+\ldots }\right) }{x}[/math]

 

 

上式をロピタルの定理を使うと

 

 

[math]\lim _{x\rightarrow 0}e\left( -\left( \dfrac {1}{2}+\dfrac {2}{3}x-\dfrac {3}{4}x^{2}+\ldots \right) e^{-\dfrac {x}{2}+\dfrac {x^{2}}{3}-\dfrac {x^{3}}{4}+}\right)=\dfrac {e}{2}[/math]

 

 

答　　[math]\dfrac {e}{2}[/math]