ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

 

 

 

 

 

$\tan ^{.1}\dfrac {1}{x}+\sin ^{-1}\dfrac {1}{\sqrt {1+y2}}=\tan ^{-1}\dfrac {1}{6}$

 

条件は

$-\dfrac {\pi }{2} <\tan ^{-1}\theta <\dfrac {\pi }{2},0\leqq \sin ^{-1}\varphi \leqq \dfrac {\pi }{2}$

 

 

上の等式を満たす正の整数（ｘ，ｙ）の組をすべて求める。

 

 

 

等式を変形して

$tan ^{-1}\dfrac {1}{6}-\tan ^{-1}\dfrac {1}{x}=\sin ^{-1}\dfrac {1}{\sqrt {1+y^{2}}}$

 

 

左辺は

 

 

$\tan ^{-1}\dfrac {1}{6}=\alpha ,\tan ^{-1}\dfrac {1}{x}=\beta$　とおくと

 

 

$\tan \left( \alpha -\beta \right) =\dfrac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }=\dfrac {\dfrac {1}{6}-\dfrac {1}{x}}{1+\dfrac {1}{6}\dfrac {1}{x}}=\dfrac {x-6}{6x+1}$

 

 

 

右辺の方は

 

 

$\sin ^{-1}\dfrac {1}{\sqrt {1+y^{2}}}=\gamma$　とおくと　

 

 

 

$\sin \gamma=\dfrac {1}{\sqrt {1+y^{2}}},0 <\dfrac {1}{\sqrt {1+y^{2}}} <1\Rightarrow \cos \gamma　＞0$

 

 

$\cos \gamma=\sqrt {1-\sin ^{2}\gamma}=\dfrac {y}{\sqrt {1+y^{2}}}\left( \because y>0\right)$

 

 

 

$\tan \gamma =\dfrac {\sin \gamma }{\cos r}=\dfrac {1}{\sqrt {1+y^{2}}}\cdot \dfrac {\sqrt {1+y^{2}}}{y}=\dfrac {1}{y}$

 

 

よって左辺の値と右辺の値を見ると

 

 

$\dfrac {x-6}{6x+1}=\dfrac {1}{y}$

 

 

 

 

$xy-6y-6x=1\Rightarrow \left( x-6\right) \left( y-6\right) =37$

 

 

３７は素数なので、x-6,y-6は２つのパターンしかない。

 

 

$x-6=1,y-6=37\Rightarrow \left( x,y\right) =\left( 7,43\right)$

 

 

$x-6=37,y-6=1\Rightarrow \left( x,y\right) =\left( 43,7\right)$

 

 

 

（ｘ，ｙ）＝（７，４３），（４３，７）・・・答え