ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

 

a，ｂを相異なる正の実数とします。このとき

 

$\tan ^{-1}\dfrac {a}{b}+\tan ^{-1}\dfrac {a+b}{a-b}$・・・＊を考えます。

 

 

ただし、すべての実数ｘにおいて

 

$-\dfrac {\pi }{2} <\tan ^{-1}x <\dfrac {\pi }{2}$です。

 

 

 

 

 

①a＞ｂのとき＊の値を求める。

 

$\tan ^{-1}\dfrac {a}{b}=A,\tan ^{-1}\dfrac {a+b}{a-b}=B$とすると、

 

 

$\tan A=\dfrac {a}{b},\tan B=\dfrac {a+b}{a-b}$となる。

 

 

$\tan \left( A+B\right) =\dfrac {\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=\dfrac {\dfrac {a}{b}+\dfrac {a+b}{a-b}}{1-\dfrac {a\left( a+b\right) }{b\left( a-b\right) }}$

 

 

$=\dfrac {a\left( a-b\right) +b\left( a+b\right) }{b\left( a-b\right) -a\left( a+b\right) }=\dfrac {a^{2}+b^{2}}{-\left( a^{2}+b^{2}\right) }=-1$

 

 

すべての実数ｘにおいて

 

$-\dfrac {\pi }{2} <\tan ^{-1}x <\dfrac {\pi }{2}$

 

より

 

$-\dfrac {\pi }{2} <A <\dfrac {\pi }{2}$

 

$-\dfrac {\pi }{2} <B <\dfrac {\pi }{2}$

 

よって

 

$-\pi <A+B<\pi$ この範囲で

 

$\tan \left( A+B\right) =-1\Rightarrow A+B=-\dfrac {\pi }{4},\dfrac {3}{4}\pi$

 

 

が考えられる。 ①　a＞ｂのとき、　a＞０，ｂ＞０なので

 

 

$\dfrac {a}{b} >1,\dfrac {a+b}{a-b}=1+\dfrac {2b}{a-b} >1$　

 

 

$A=\tan ^{-1}\dfrac {a}{b} >\tan ^{-1}1= \dfrac {\pi }{4}\Rightarrow \dfrac {\pi }{4} <A <\dfrac {\pi }{2}$

 

 

$B=\tan ^{-1}\dfrac {a+b}{a-b} >\tan ^{-1}1 =\dfrac {\pi }{4}\Rightarrow \dfrac {\pi }{4} <B <\dfrac {\pi }{2}$

 

 

よって

 

 

$\dfrac {\pi }{2} <A+B <\pi$

 

 

$\tan \left( A+B\right) =-1$より

 

 

 

$A+B=\dfrac {3}{4}\pi$　　となる。

 

 

 

$\dfrac {3}{4}\pi$・・・①の答え

 

 

②　a＜ｂのとき＊の値を求める。

 

 

a＜ｂのとき、　a＞０，ｂ＞０なので

 

 

$0 <\dfrac {a}{b} <1,\dfrac {a+b}{a-b}=-1-\dfrac {2a}{b-a} <-1$

 

$A=\tan ^{-1}\dfrac {a}{b} <\tan ^{-1}1=\dfrac {\pi }{4}\Rightarrow 0 <A <\dfrac {\pi }{4}$　

 

 

$B=\tan ^{-1}\dfrac {a+b}{a-b} <\tan ^{-1}\left( -1\right)= -\dfrac {\pi }{4}\Rightarrow -\dfrac {\pi }{2} <B <-\dfrac {\pi}{4}$

 

 

よって

 

 

$-\dfrac {\pi }{2} <A+B <0$となる。

 

 

$\tan \left( A+B\right) =-1$より

 

 

$A+B=-\dfrac {\pi }{4}$

 

 

$-\dfrac {\pi}{4}$・・・②の答え