ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

（１）$\cos 40^{\circ }+\cos 80^{\circ}+\cos 160^{\circ }$の値を求めよ。

 

 

（２）$\cos 40^{\circ }\cos 80^{\circ}\cos 160^{\circ }$の値を求めよ。

 

 

 

 

 

（１）

$\cos 40^{\circ }=\cos \dfrac{2\pi }{9}$であるから

 

 

$z=e^{\dfrac{2}{9}\pi i}=\cos \dfrac{2\pi }{9}+i\sin \dfrac{2\pi }{9}$とすると

 

 

$z^{9}=1$が成り立つ

 

 

$z^{9}-1=0$の式を因数分解すると、

 

 

$\left(z-1\right)\left(z^{8}+z^{7}+z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1\right)=0$

 

 

 

$z\neq 1$なので

 

 

 

$z^{8}+z^{7}+z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1=0$の方程式が成り立つ。

 

 

$1+\left( z+z^{8}\right) +\left( z^{2}+z^{7}\right) +\left( z^{3}+2^{6}\right) +\left( z^{4}+z^{5}\right) =0$・・・（Ａ）と式変形する。

 

 

ここで

 

$z+z^{8}=\cos 40^{\circ }+i\sin 40^{\circ }+\cos 40^{\circ }-i\sin 40^{\circ }=2\cos 40^{\circ }$

 

同様に

 

$z^{2}+z^{7}=\cos 80^{\circ }+i\sin 80^{\circ }+\cos 80^{\circ }-i\sin 80^{\circ }=2\cos 80^{\circ }$

 

 

$z^{3}+z^{6}=\cos 120^{\circ }+i\sin 120^{\circ }+\cos 120^{\circ }-i\sin 120^{\circ }=2\cos 120^{\circ }=-1$

 

 

$z^{4}+z^{5}=\cos 160^{\circ }+i\sin 160^{\circ }+\cos 160^{\circ }-i\sin 160^{\circ }=2\cos 160^{\circ }$

 

上の４つの式を（Ａ）の式に代入すると

 

 

$1+2\cos 40^{\circ }+2\cos 80^{\circ}+2\cos 160^{\circ }-1=0$

 

 

$cos 40^{\circ }+\cos 80^{\circ}+\cos 160^{\circ}=0$・・・(1)の答え

 

 

 

 

（２）

 

 

$\cos 40^{\circ }\cos 80^{\circ}\cos 160^{\circ }$の左から$\sin 40^{\circ }$をかける。

 

 

$\sin 40^{\circ }\cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }\cos 160^{\circ }$

 

 

（２倍角の公式より）$\cos 40^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }=\dfrac{1}{2}\sin 80^{\circ }$になるので

 

 

$=\dfrac{1}{2}\sin 80^{\circ }\cos 80^{\circ }\cdot \cos 160^{\circ }$

 

（同様に２倍角の公式より）

 

$=\dfrac{1}{4}\sin 160^{\circ }\cos 160^{\circ }$

 

 

$=\dfrac{1}{8}\sin 320^{\circ }=-\dfrac{1}{8}\sin 40^{\circ }$

 

 

最初にかけた$\sin 40^{\circ }$で割って

 

 

$\cos 40^{\circ }\cos 80^{\circ }\cos 160^{\circ }=-\dfrac{1}{8}$・・・(2)の答え