ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

（１）[math]\cos 40^{\circ }+\cos 80^{\circ}+\cos 160^{\circ }[/math]の値を求めよ。

 

 

（２）[math]\cos 40^{\circ }\cos 80^{\circ}\cos 160^{\circ }[/math]の値を求めよ。

 

 

 

 

 

（１）

[math]\cos 40^{\circ }=\cos \dfrac{2\pi }{9}[/math]であるから

 

 

[math]z=e^{\dfrac{2}{9}\pi i}=\cos \dfrac{2\pi }{9}+i\sin \dfrac{2\pi }{9}[/math]とすると

 

 

[math]z^{9}=1[/math]が成り立つ

 

 

[math]z^{9}-1=0[/math]の式を因数分解すると、

 

 

[math]\left(z-1\right)\left(z^{8}+z^{7}+z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1\right)=0[/math]

 

 

 

[math]z\neq 1[/math]なので

 

 

 

[math]z^{8}+z^{7}+z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1=0[/math]の方程式が成り立つ。

 

 

[math]1+\left( z+z^{8}\right) +\left( z^{2}+z^{7}\right) +\left( z^{3}+2^{6}\right) +\left( z^{4}+z^{5}\right) =0[/math]・・・（Ａ）と式変形する。

 

 

ここで

 

[math]z+z^{8}=\cos 40^{\circ }+i\sin 40^{\circ }+\cos 40^{\circ }-i\sin 40^{\circ }=2\cos 40^{\circ }[/math]

 

同様に

 

[math]z^{2}+z^{7}=\cos 80^{\circ }+i\sin 80^{\circ }+\cos 80^{\circ }-i\sin 80^{\circ }=2\cos 80^{\circ }[/math]

 

 

[math]z^{3}+z^{6}=\cos 120^{\circ }+i\sin 120^{\circ }+\cos 120^{\circ }-i\sin 120^{\circ }=2\cos 120^{\circ }=-1[/math]

 

 

[math]z^{4}+z^{5}=\cos 160^{\circ }+i\sin 160^{\circ }+\cos 160^{\circ }-i\sin 160^{\circ }=2\cos 160^{\circ }[/math]

 

上の４つの式を（Ａ）の式に代入すると

 

 

[math]1+2\cos 40^{\circ }+2\cos 80^{\circ}+2\cos 160^{\circ }-1=0[/math]

 

 

[math]cos 40^{\circ }+\cos 80^{\circ}+\cos 160^{\circ}=0[/math]・・・(1)の答え

 

 

 

 

（２）

 

 

[math]\cos 40^{\circ }\cos 80^{\circ}\cos 160^{\circ }[/math]の左から[math]\sin 40^{\circ }[/math]をかける。

 

 

[math]\sin 40^{\circ }\cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }\cos 160^{\circ }[/math]

 

 

（２倍角の公式より）[math]\cos 40^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }=\dfrac{1}{2}\sin 80^{\circ }[/math]になるので

 

 

[math]=\dfrac{1}{2}\sin 80^{\circ }\cos 80^{\circ }\cdot \cos 160^{\circ }[/math]

 

（同様に２倍角の公式より）

 

[math]=\dfrac{1}{4}\sin 160^{\circ }\cos 160^{\circ }[/math]

 

 

[math]=\dfrac{1}{8}\sin 320^{\circ }=-\dfrac{1}{8}\sin 40^{\circ }[/math]

 

 

最初にかけた[math]\sin 40^{\circ }[/math]で割って

 

 

[math]\cos 40^{\circ }\cos 80^{\circ }\cos 160^{\circ }=-\dfrac{1}{8}[/math]・・・(2)の答え