ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

積　　[math]\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 60^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }[/math]の値を求める。（この値は有理数）

三角関数の和積の公式より

[math]\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }=\dfrac {1}{2}\left\{ \cos \left( 40^{\circ }-20^{\circ }\right) -\cos \left( 40^{\circ }+20^{\circ }\right) \right\}[/math]

[math]=\dfrac {1}{2}\left( \cos 20^{\circ }-\cos 60^{\circ }\right) =\dfrac {1}{2}\left( \cos 20^{\circ }-\dfrac {1}{2}\right)[/math]

[math]\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 60^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }=\dfrac {1}{2}\left( \cos 20^{\circ }-\dfrac {1}{2}\right) \cdot \dfrac {\sqrt {3}}{2}\cdot \sin 80^{\circ }[/math]

[math]=-\dfrac {\sqrt {3}}{4}\left( \dfrac {1}{2}\sin 80^{\circ }-\sin 80^{\circ }\cos 20^{\circ }\right)[/math]・・・①

また、和積の公式より

[math]\sin 80^{\circ }\cdot \cos 20^{\circ }=\dfrac {1}{2}\left[ \sin \left( 80^{\circ }+20^{\circ }\right) +\sin \left( 80^{\circ }-20^{\circ }\right) \right][/math]

[math]=\dfrac {1}{2}\left( \sin 100^{\circ }+\sin 60^{\circ }\right) = \dfrac {1}{2}\left( \sin 100^{\circ }+\dfrac {\sqrt {3}}{2}\right)[/math]

となるので①は

[math]-\dfrac {\sqrt {3}}{4}\left\{ \dfrac {1}{2}\sin 80^{\circ}-\dfrac {1}{2}\left( \sin 100^{\circ }+\dfrac {\sqrt {3}}{2}\right) \right\}[/math]

[math]=-\dfrac {\sqrt {3}}{4}\left( \dfrac {1}{2}\sin 80^{\circ}-\dfrac {1}{2}\sin 100^{\circ }-\dfrac {\sqrt {3}}{4}\right)[/math]

[math]=-\dfrac {\sqrt {3}}{4}\times \left( -\dfrac {\sqrt {3}}{4}\right) = \dfrac {3}{16}[/math]

（[math]\sin 80^{\circ }=\sin 100^{\circ }[/math]より）

[math]\dfrac {3}{16}[/math]・・・答え