ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

積　　$\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 60^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }$の値を求める。（この値は有理数）

三角関数の和積の公式より

$\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }=\dfrac {1}{2}\left\{ \cos \left( 40^{\circ }-20^{\circ }\right) -\cos \left( 40^{\circ }+20^{\circ }\right) \right\}$

$=\dfrac {1}{2}\left( \cos 20^{\circ }-\cos 60^{\circ }\right) =\dfrac {1}{2}\left( \cos 20^{\circ }-\dfrac {1}{2}\right)$

$\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 60^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }=\dfrac {1}{2}\left( \cos 20^{\circ }-\dfrac {1}{2}\right) \cdot \dfrac {\sqrt {3}}{2}\cdot \sin 80^{\circ }$

$=-\dfrac {\sqrt {3}}{4}\left( \dfrac {1}{2}\sin 80^{\circ }-\sin 80^{\circ }\cos 20^{\circ }\right)$・・・①

また、和積の公式より

$\sin 80^{\circ }\cdot \cos 20^{\circ }=\dfrac {1}{2}\left[ \sin \left( 80^{\circ }+20^{\circ }\right) +\sin \left( 80^{\circ }-20^{\circ }\right) \right]$

$=\dfrac {1}{2}\left( \sin 100^{\circ }+\sin 60^{\circ }\right) = \dfrac {1}{2}\left( \sin 100^{\circ }+\dfrac {\sqrt {3}}{2}\right)$

となるので①は

$-\dfrac {\sqrt {3}}{4}\left\{ \dfrac {1}{2}\sin 80^{\circ}-\dfrac {1}{2}\left( \sin 100^{\circ }+\dfrac {\sqrt {3}}{2}\right) \right\}$

$=-\dfrac {\sqrt {3}}{4}\left( \dfrac {1}{2}\sin 80^{\circ}-\dfrac {1}{2}\sin 100^{\circ }-\dfrac {\sqrt {3}}{4}\right)$

$=-\dfrac {\sqrt {3}}{4}\times \left( -\dfrac {\sqrt {3}}{4}\right) = \dfrac {3}{16}$

（$\sin 80^{\circ }=\sin 100^{\circ }$より）

$\dfrac {3}{16}$・・・答え