ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

aは定数である確率密度

[math]f\left( x\right) =a\left( x-x^{3}\right) \left( 0\leqq x\leqq 1\right)[/math]

[math]f\left( x\right) =0[/math]    [math]  ( x <0),(x > 1)[/math]

とする。

（１）

[math]\int f\left( x\right) dx=\int ^{1}_{0}a\left( x-x^{3}\right) dx=a\left[ \dfrac {x^{2}}{2}-\dfrac {x^{4}}{4}\right] ^{1}_{0}=\dfrac {a}{4}=1[/math]

[math]a=4[/math]・・・（１）の答え

（２）

[math]\begin{aligned}E\left[ X\right] =\int xf\left( x\right) dx=4\left[ \dfrac {x^{3}}{3}-\dfrac {x^{5}}{5}\right] ^{1}_{0}=\dfrac {8}{15}\\ .\end{aligned}[/math]

[math]E\left[ X^{2}\right] =\int x^{2}f\left( x\right) dx=4\left[ \dfrac {x^{4}}{4}-\dfrac {x^{6}}{6}\right] ^{1}_{0}=\dfrac {1}{3}[/math]

[math]V\left[ X\right] =E\left[ X^{2}\right] -\left( E\left[ X\right] \right) ^{2}=\dfrac {1}{3}-\dfrac {64}{225}=\dfrac {11}{225}[/math]

[math]\dfrac {11}{225}[/math]　・・・（２）の答え