ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

$\prod ^{\infty }_{k=1}\dfrac {\left( 4k-2\right) \left( 4k-2\right) }{\left( 4k-3\right) \left( 4k-1\right) }$を求める。

１からｎまでの部分和を$A_{n}$とおく。

$A_{n}=\dfrac {2\cdot 2\cdot 6\cdot 6\ldots \left( 4n-2\right) \left( 4n-2\right) }{1\cdot 3\cdot 5\ldots \left( 4n-3\right) \left( 4n-1\right) }$

$=\dfrac {2^{2n}\left( 1\cdot 3\cdot 5\ldots \ldots \left( 2n-1\right) \right) ^{2}}{\left( 4n\right) !/\left( 2\cdot 4\cdot 6\ldots \left( 4n-2\right) +n\right) }$

$=\dfrac {2^{2n}\cdot \left( \left( 2n\right) !/2^{n}\cdot n!\right) ^{2}}{\left( 4n\right) !/2^{2n}\left( 2n\right) !}=\dfrac {2^{2n}\left( \left( 2n\right) !\right) ^{3}}{\left( 4n\right) !\left( n!\right) ^{2}}$　...(1)　

$\lim _{n\rightarrow \infty }n!=\sqrt {2\pi n}\cdot n^{n}e^{-n}$　

スターリングのの公式を使って（１）の極限値を求める。

$\lim _{n\rightarrow \infty }2^{2n}\cdot \dfrac {\left( \sqrt {2\pi \left( 2n\right) }\cdot \left( 2n\right) ^{2n}e^{-2n}\right) ^{3}}{\left( \sqrt {2\pi \left( 4n\right) }\cdot \left( 4n\right) ^{4n}e^{-4n}\right) \left( \sqrt {2\pi n}\cdot n^{n}e^{-n}\right) ^{2}}$

$=\lim _{n\rightarrow \infty }2^{2n}\cdot \dfrac {\left( \sqrt {2}\cdot 2^{2n}\right) ^{3}}{2\cdot 4^{4n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {2^{8n}\cdot 2\sqrt {2}}{2^{8n}\cdot 2}=\sqrt {2}$

$\sqrt {2}$・・・答え