ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

 

 

 

$\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac{\left( x+1\right) ^{n}}{2^{n}\sqrt{n+1}}$（ｘは実数）を求める。

 

 

（１）

 

 

$a_{n}=\dfrac {1}{2^{n}\sqrt {n+1}},a_{n+1}=\dfrac {1}{2\sqrt [n+1] {n+2}}$

 

 

 

$r=\dfrac {a_{n}}{a_{n+1}}=\dfrac {2\sqrt [n+1] {n+2}}{2\sqrt [n] {n+1}}=2\sqrt {1+\dfrac {1}{n+1}}$

 

 

$\lim _{n\rightarrow \infty }2\sqrt {1+\dfrac {1}{n+1}}=2$

 

 

 

収束半径は２・・・（１）の答え

 

 

（２）

 

 

収束半径が２なので、ⅹ＋１＝±２より

 

－３≦ｘ≦１の範囲では収束する。

 

 

収束半径の範囲の中の両端のｘ＝－３，１のときの収束判定を考える。

 

ｘ＝１の場合

 

$\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac{1}{2\sqrt[n] {n+1}}z^{n}=\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$

 

 

そこで、積分判定法を用いて

 

 

$\int _{0}^{x}\dfrac{dx}{\sqrt{x+1}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[ 2\left( 1+x\right) ^{\dfrac{1}{2}}\right] _{0}^{M}=\infty$　

 

 

 

ｘ＝１のときは発散する。

 

 

ｘ＝－３の場合

 

 

$x+1=-2\rightarrow \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( -1\right) ^{n}}{\sqrt {n+1}}=0$

 

 

０に収束していく交代級数なので

 

 

ｘ＝－３のときは収束する。

 

よって

 

$-3\leqq x <1$・・・（２）の答え