
[math]\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac{\left( x+1\right) ^{n}}{2^{n}\sqrt{n+1}}[/math](xは実数)を求める。
(1)
[math]a_{n}=\dfrac {1}{2^{n}\sqrt {n+1}},a_{n+1}=\dfrac {1}{2\sqrt [n+1] {n+2}}[/math]
[math]r=\dfrac {a_{n}}{a_{n+1}}=\dfrac {2\sqrt [n+1] {n+2}}{2\sqrt [n] {n+1}}=2\sqrt {1+\dfrac {1}{n+1}}[/math]
[math]\lim _{n\rightarrow \infty }2\sqrt {1+\dfrac {1}{n+1}}=2[/math]
収束半径は2・・・(1)の答え
(2)
収束半径が2なので、ⅹ+1=±2より
-3≦x≦1の範囲では収束する。
収束半径の範囲の中の両端のx=-3,1のときの収束判定を考える。
x=1の場合
[math]\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac{1}{2\sqrt[n] {n+1}}z^{n}=\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}[/math]
そこで、積分判定法を用いて
[math]\int _{0}^{x}\dfrac{dx}{\sqrt{x+1}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[ 2\left( 1+x\right) ^{\dfrac{1}{2}}\right] _{0}^{M}=\infty[/math]
x=1のときは発散する。
x=-3の場合
[math]x+1=-2\rightarrow \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( -1\right) ^{n}}{\sqrt {n+1}}=0[/math]
0に収束していく交代級数なので
x=-3のときは収束する。
よって
[math]-3\leqq x <1[/math]・・・(2)の答え
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