ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

 

$a_{n+2}=\left( n+1\right) \left( a_{n+1}+ a_{n}\right)   ,a_{1}=0,a_{2}=1$

 

 

 

（１）

 

$b_{n}=a_{n+1}-\left( n+1\right) a_{n}$

 

 

より

 

 

$b_{n+1}+b_{n}=a_{n+2}-\left( n+1\right) a_{n+1}+a_{n+1}-\left( n+1\right) a_{n}$

 

 

 

$=a_{n+2}-\left( n+1\right) a_{n+1}-\left( n+1\right) a_{n}$

 

 

$=a_{n+2}-\left( n+1\right) \left( a_{n+1}+a_{n}\right) =0$

 

 

したがって

 

 

$b_{1}=1,b_{n+1}=-b_{n}\rightarrow b_{n}=\left( -1\right) ^{n-1}$

 

 

$b_{n}=\left( -1\right) ^{n-1}$・・・（１）の答え

 

 

 

（２）

 

 

$b_{n}=a_{n+1}-\left( n+1\right) a_{n}=\left( -1\right) ^{n-1}$

 

 

 

両辺を$\left( n+1\right) !$で割る。

 

 

 

$\dfrac {a_{n+1}}{\left( n+1\right) !}-\dfrac {a_{n}}{n!}=\dfrac {\left( -1\right) ^{n-1}}{\left( n+1\right) !}$

 

 

したがって

 

 

 

$\dfrac {a_{n}}{n!}=\dfrac {a_{1}}{1!}+\sum ^{n-1}_{k=1}\dfrac {\left( -1\right) ^{k+1}}{\left( k+1\right) !}$

 

 

 

$=0+\sum ^{n}_{k=2}\dfrac {\left( -1\right) ^{k}}{k!}=\dfrac {\left( -1\right) ^{0}}{0!}+\dfrac {\left( -1\right) ^{1}}{1!}+\sum ^{n}_{k=2}\dfrac {\left( -1\right) ^{k}}{k!}=\sum ^{n}_{k=0}\dfrac {\left( -1\right) ^{k}}{k!}$

 

 

したがって

 

$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {a_{n}}{n!}=\sum ^{\infty }_{k=0}\dfrac {\left( -1\right) ^{k}}{k!}=e^{-1}$

 

 

 

 

$\dfrac {1}{e}$・・・（２）の答え