ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

実数ｘに対して[math]\left[ x\right][/math] はｘを超えない最大整数を表す。

n を自然数とする。 n！に含まれる素因数 pの最高累乗指数は

[math]p^{k}\leqq n <p^{k+1}[/math]とすると

n！の因数１，２，３，・・・，ｎの中で　ｐの倍数

[math]p,2p,3p,\ldots ,\left[ \dfrac{n}{\rho }\right] p[/math]の[math]\left[ \dfrac{n}{p}\right][/math]個

であるから[math]\left[ \dfrac{n}{p}\right][/math]回で割り切れる。

次に

[math]p^{2},2p^{2},3p^{2},\ldots \left[ \dfrac{n}{p^{2}}\right] p^{2}[/math]だから　　

[math]\left[ \dfrac{n}{p^{2}}\right][/math]回で割り切れる。

以下同様にカウントして

[math]\sum ^{k}_{i=1}\left[ \dfrac{n}{p^{i}}\right] =\left[ \dfrac{n}{p}\right] +\left[ \dfrac{n}{p^{2}}\right] +\ldots +\left[ \dfrac{n}{p^{k}}\right][/math]

問題

１００！を１０進法で表記すれば、末尾に０がいくつ並ぶことになるか。

１００！の中に因数として含まれる２と５の個数は明らかに２の方が圧倒的に多い。だから、この因数５の個数が１０進法で表記された１００！の末尾に並ぶ０の個数に等しい。

１００！の中にある因数５はの個数は求める。

素数５の最大累乗指数を求めると

[math]\left[ \dfrac{100}{5}\right] +\left[ \dfrac{100}{5^{2}}\right] ＝20+4＝ 24[/math]

答え　　　　２４個