ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

$23^{23^{23}}$　　の１の位の数字を求める。

$23^{1}\equiv 3\left( mod10\right)$

$23^{2}\equiv 9\left( mod10\right)$

$23^{3}\equiv 7\left( mod10\right)$

$23^{4}\equiv 1\left( mod10\right)$

$23^{5}\equiv 3\left( mod10\right)$

したがって、　２３の累乗した数の１の位の数字は４乗周期（３→９→７→１→３）と繰り返す。

すなわち

$23^{n}$　の１の位は

ｎ＝４ｋ＋１の場合　　１の位は　３

ｎ＝４ｋ＋２の場合　　１の位は　９

ｎ＝４ｋ＋３の場合　　１の位は　７

ｎ＝４ｋ＋４の場合　　１の位は　１　　　（ただし、ｋは正の整数）

という意味になる。

$23^{23^{23}}$　の指数の方の

$23^{23}$　の答えを４で割ったときの余りを考える。

二項定理より　　$23^{23}=\left( 24-1\right) ^{23}$

$=24^{23}+23 \cdot 24^{22} \cdot \left( -1\right) ^{1}+\dfrac {23\times 22}{2}\cdot 24^{22}\cdot \left( -1\right) ^{2}+\ldots+23 \cdot 24^{1}\cdot\left( -1\right) ^{22}+\left( -1\right) ^{23}$

$=24\times \left( \ldots \right) +\left( -1\right) ^{23}$

$23^{23}\equiv \left( -1\right) ^{23}\left( mod4\right)\equiv -1\left( mod4\right) \equiv 3\left( mod4\right)$

$23^{23}$　を４で割ると余りが３のため、４乗周期（３→９→７→１→３）の３順目の７になる。

よって

答え　　　$23^{23^{23}}$の１の位の数字は７