ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

$\left( a+b\right) ^{3}=a^{3}+3ab\left( a+b\right) +b^{3}$の公式を使って計算する。

$\sqrt [3] {-5+2\sqrt {13}}+\sqrt [3] {-5-2\sqrt {13}}=x$とおくと

$x^{3}=\left( -5+2\sqrt {13}\right) +3\sqrt [3] {\left( 25-52\right) }x+\left( -5-2\sqrt {13}\right)$

したがって

$x^{3}=-10+3\sqrt [3] {-27}x$になる、

$x^{3}+9x+10=0$より

$\left( x+1\right) \left( x^{2}-x-10\right)=0$

ｘは実数なのでｘ＝-１になる。

また、

$\sqrt [3] {-5+2\sqrt {13}}\sqrt [3] {-5-2\sqrt {13}}=-3$

解と係数の関係より次の二次方程式が導かれる。

$\begin{aligned}\left( x-\sqrt [3] {-5+2\sqrt {13}}\right) \left( x-\sqrt [3] {-5-2\sqrt {13}}\right) \\ =x^{2}+x-3=0\end{aligned}$

$x=\dfrac {-1\pm \sqrt {13}}{2}$　　　　　この２つの解の大きい方が答えになる。

$x=\dfrac {-1+\sqrt {13}}{2}$・・・答え