ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

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[math]\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {1}{2n-1}\left( \dfrac {1-x}{1+x}\right) ^{2n-1}[/math]の値を求める。

 

（１）

[math]\dfrac{1-x}{1+x}=k[/math]とおくと

 

 

ダランベールの収束判定法より

 

 

[math]\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{2n-1}{2n+1}k^{2}=k^{2}[/math]

 

 

無限級数[math]\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {1}{2n-1}k^{2n-1}[/math]は

 

[math] k^{2} <1\rightarrow -1 <\dfrac {1-x}{1+x} <1[/math]

 

で収束する。

 

[math]-1-x <1-x <1+x[/math]

 

すなわち

 

[math]x >0[/math]が収束する条件になる。・・・答え

 

また、

[math]k=\pm 1[/math]の場合、ｘ＝０になる。

 

 

ｘ＝０のとき、級数は[math]\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac{1}{2n-1}[/math]となる。

 

コーシーの積分判定法より

 

[math]\int ^{\infty }_{1}\dfrac{dx}{2x-1}=\dfrac{1}{2}\lim _{n+\infty }\left[ \log _{e}\left( 2x-1\right) \right] _{0}^{n}[/math]で発散するので　

 

 

x=0のとき、この無限級数は発散する。

 

 

（２）

 

[math]f\left( k\right) =\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac{1}{2n-1}k^{2n-1}[/math]

 

 

とおいて、両辺をｋで微分すると

 

 

[math]\dfrac {d}{dk}f\left( k\right) =\sum ^{\infty }_{n=1}k^{2n-2}=\sum ^{\infty }_{n=0}k^{2n}=\dfrac {1}{1-k^{2}}[/math]

 

両辺をｋで積分すると

 

[math]\int \dfrac {d}{dk}f\left( k\right) dk=\int \dfrac {1}{1-k^{2}}dk[/math]

 

 

[math]=\dfrac {1}{2}\int \left( \dfrac {1}{1+k}-\dfrac {-1}{1-k}\right) dk[/math]

 

 

[math]=\dfrac {1}{2}\left( \log _{e}\left( 1+k\right) -\log _{e}\left( 1-k\right) \right)[/math]

 

 

[math]=\dfrac {1}{2}\log _{e}\dfrac {1+k}{1-k}=-\dfrac {1}{2}\log _{e}\dfrac {1-k}{1+k}[/math]

 

 

[math]k=\dfrac {1-x}{1+x}[/math]を上の式に代入する。

 

 

したがって、級数の和は

 

 

[math]-\dfrac {1}{2}\log _{e}x[/math]・・・答え