ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

つぎの極限値を求める。

[math]\lim _{n\rightarrow \infty }\sum ^{n}_{k=1}\dfrac {1}{\sqrt {2nk-k^{2}}}[/math]

[math]\lim _{n\rightarrow \infty }\sum ^{n}_{k=1}\dfrac {1}{\sqrt {2nk-k^{2}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{n}\sum ^{n}_{k=1}\dfrac {1}{\sqrt {2\left( \dfrac {k}{n}\right) -\left( \dfrac {k}{n}\right) ^{2}}}[/math]

[math]=\int ^{1}_{0}\dfrac {1}{\sqrt {2x-x^{2}}}dx=\int ^{1}_{0}\dfrac {1}{\sqrt {1-\left( x-1\right) ^{2}}}dx[/math]

ここで[math]x-1=t[/math]とおくと

[math]x:0\rightarrow 1,t: -1\rightarrow 0[/math]

[math]dx=dt[/math]

与式＝[math]\int ^{0}_{-1}\dfrac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}dt=\left[ \sin ^{-1}\right] ^{0}_{1}-0-\left( -\dfrac {\pi }{2}\right) =\dfrac {\pi }{2}[/math]

[math]\dfrac {\pi }{2}[/math]・・・答え