ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

次の級数の和を求める。

 

[math]\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {1}{2^{n}n}[/math]

 

 

 

 

 

[math]f\left( x\right) =\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {1}{2^{n}n}x^{n}[/math]・・・①

 

 

とおくと、[math]f\left( x\right)[/math]は収束半径２のべき級数である。

 

 

－２＜ｘ＜２の範囲で

 

 

[math]f'\left( x\right) =\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {1}{2^{n}}x^{n-1}=\dfrac {1}{2}\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {1}{2^{n-1}}=\dfrac {1}{2}\sum ^{\infty }_{n=1}\left( \dfrac {x}{2}\right) ^{n-1}[/math]

 

 

 

[math]=\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {1}{1-\dfrac {x}{2}}=\dfrac {1}{2-x}[/math]

 

 

よって

 

 

[math]f'\left( x\right) =\dfrac {1}{2-x}[/math]の両辺をｘで積分して

 

 

 

[math]f\left( x\right) =\int \dfrac {1}{2-x}dx=-\log _{e}\left( 2-x\right) +C[/math]（Cは積分定数）

 

 

 

①よりｆ（０）＝０の条件から

 

 

 

[math]-\log _{e}2+C=0\Rightarrow C=\log _{e}2[/math]

 

 

よって

 

 

[math]f\left( x\right) =-\log _{e}\left( 2-x\right) +\log _{e}2[/math]

 

 

①より[math]f\left( 1\right) =\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {1}{2^{n}n}[/math]

 

であるので、ｆ（１）がここで求める級数の和であるので

 

 

 

[math]f\left( 1\right) =-\log _{e}\left( 2-1\right) +\log _{e}2=\log _{e}2[/math]　

 

 

[math]log _{e}2[/math]　（eは自然対数）・・・答え