ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

 

 

５個の２次元データ　（ｘ，ｙ）＝（－１，－４），（１，－１），（２，３），

（３，５），（５，７）のとき、次の問に答える。

 

 

①ｘとｙの相関係数を求めよ。

 

 

②５個の２次元データについて最小２乗法によるｙのｘへの回帰直線の式を求めよ。

 

 

 

データ番号	ｘ	ｙ	$x-\overline {x}$	$y-\overline {y}$	$\left( x-\overline {x}\right) ^{2}$	$\left( y-\overline {y}\right) ^{2}$	$\left( x-\overline {x}\right) \left( y-\overline {y}\right)$
１	－１	－４	－３	－６	９	３６	１８
２	１	－１	－１	－３	１	９	３
３	２	３	０	１	０	１	０
４	３	５	１	３	１	９	３
５	５	７	３	５	９	２５	１５
合計	１０	１０	０	０	２０	８０	３９
平均	２	２	０	０	４	１６	７．８

 

 

 

①表より、ｘとｙの相関係数は

 

 

$\overline {x}=\overline {y}=\dfrac {10}{5}=2$

 

 

分散　$\sigma ^{2}_{x}=\dfrac {1}{5}\sum ^{5}_{i=1}\left( x_{i}-\overline {x}\right) ^{2}=4,\sigma ^{2}_{y}=\dfrac {1}{5}\sum ^{5}_{i=1}\left( y_{i}-\overline {y}\right) ^{2}=16$

 

 

 

共分散　$\sigma _{xy}=\dfrac {1}{5}\sum ^{5}_{i=1}\left( x_{i}-\overline {x}\right) \left( y_{i}-\overline {y}\right) =\dfrac {39}{5}=7.8$

 

 

よって、相関係数は

 

 

$\rho_{xy}=\dfrac {\sigma _{xy}}{\sigma _{x}\sigma _{y}}=\dfrac {7.8}{\sqrt {4}\sqrt {16}}=\dfrac {7.8}{2\cdot 4}=0.975$・・・①の答え

 

 

 

②　　　　問題①のｘをX，ｙ＝Yとして考える。

 

 

 

表より$\overline {X}=2,\overline {Y}=2,\sigma _{x}=2,\sigma _{y}=4$

 

 

 

問題①より$\rho_{xy}=0.975$

 

 

 

$Y-\overline {Y}=\rho_{xy}\cdot \dfrac {\sigma _{y}}{\sigma _{x}}\left( X-\overline {X}\right)$

 

 

 

にこれらを代入して

 

 

 

$Y-2=0.975\cdot \dfrac {4}{2}\left( X-2\right)$

 

 

 

$Y=1.95X-1.9$

 

したがって

　

$y=1.95x-1.9$・・・②の答え