5個の2次元データ (x,y)=(-1,-4),(1,-1),(2,3),
(3,5),(5,7)のとき、次の問に答える。
①xとyの相関係数を求めよ。
②5個の2次元データについて最小2乗法によるyのxへの回帰直線の式を求めよ。
データ番号 | x | y | [math]x-\overline {x}[/math] | [math]y-\overline {y}[/math] | [math]\left( x-\overline {x}\right) ^{2}[/math] | [math]\left( y-\overline {y}\right) ^{2}[/math] | [math]\left( x-\overline {x}\right) \left( y-\overline {y}\right)[/math] |
1 | -1 | -4 | -3 | -6 | 9 | 36 | 18 |
2 | 1 | -1 | -1 | -3 | 1 | 9 | 3 |
3 | 2 | 3 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
4 | 3 | 5 | 1 | 3 | 1 | 9 | 3 |
5 | 5 | 7 | 3 | 5 | 9 | 25 | 15 |
合計 | 10 | 10 | 0 | 0 | 20 | 80 | 39 |
平均 | 2 | 2 | 0 | 0 | 4 | 16 | 7.8 |
①表より、xとyの相関係数は
[math]\overline {x}=\overline {y}=\dfrac {10}{5}=2[/math]
分散 [math]\sigma ^{2}_{x}=\dfrac {1}{5}\sum ^{5}_{i=1}\left( x_{i}-\overline {x}\right) ^{2}=4,\sigma ^{2}_{y}=\dfrac {1}{5}\sum ^{5}_{i=1}\left( y_{i}-\overline {y}\right) ^{2}=16[/math]
共分散 [math]\sigma _{xy}=\dfrac {1}{5}\sum ^{5}_{i=1}\left( x_{i}-\overline {x}\right) \left( y_{i}-\overline {y}\right) =\dfrac {39}{5}=7.8[/math]
よって、相関係数は
[math]\rho_{xy}=\dfrac {\sigma _{xy}}{\sigma _{x}\sigma _{y}}=\dfrac {7.8}{\sqrt {4}\sqrt {16}}=\dfrac {7.8}{2\cdot 4}=0.975[/math]・・・①の答え
② 問題①のxをX,y=Yとして考える。
表より[math]\overline {X}=2,\overline {Y}=2,\sigma _{x}=2,\sigma _{y}=4[/math]
問題①より[math]\rho_{xy}=0.975[/math]
[math]Y-\overline {Y}=\rho_{xy}\cdot \dfrac {\sigma _{y}}{\sigma _{x}}\left( X-\overline {X}\right)[/math]
にこれらを代入して
[math]Y-2=0.975\cdot \dfrac {4}{2}\left( X-2\right)[/math]
[math]Y=1.95X-1.9[/math]
したがって
[math]y=1.95x-1.9[/math]・・・②の答え
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