ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

 

(1+x)の二項係数を考えていく。

 

 

[math]\left( 1+x\right) ^{99}=\sum ^{99}_{k=0}\begin{pmatrix} 99 \\ k \end{pmatrix}x^{k}[/math]

 

 

 

（１）ｘ＝ω　とすると　

 

 

 

[math]\begin{aligned}\left( 1+w\right) ^{99}=\begin{pmatrix} 99 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 99 \\ 1 \end{pmatrix}w+\begin{pmatrix} 99 \\ 2 \end{pmatrix}w^{2}+\ldots \\ +..+\begin{pmatrix} 99 \\ 97 \end{pmatrix}w+\begin{pmatrix} 99 \\ 98 \end{pmatrix}w^{2}+\begin{pmatrix} 99 \\ 99 \end{pmatrix}\end{aligned}[/math]

 

 

[math]\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ n-r \end{pmatrix}[/math]を使って上の式を並べ替えます。

 

 

[math]\begin{aligned}\left( 1+w\right) ^{99}=\left[ \begin{pmatrix} 99 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 99 \\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 99 \\ 6 \end{pmatrix}+\ldots \begin{pmatrix} 99 \\ 96 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 99 \\ 99 \end{pmatrix}\right] \\ +\left[ \begin{pmatrix} 99 \\ 1 \end{pmatrix}w+\begin{pmatrix} 99 \\ 98 \end{pmatrix}w^{2}\right] +\left[ \begin{pmatrix} 99 \\ 2 \end{pmatrix}w+\begin{pmatrix} 99 \\ 97 \end{pmatrix}w^{2}\right] \\ +\ldots +\left[ \begin{pmatrix} 99 \\ 49 \end{pmatrix}w+\begin{pmatrix} 99 \\ 50 \end{pmatrix}w^{2}\right] \end{aligned}[/math]

 

 

 

[math]\begin{aligned}=\sum ^{33}_{k=0}\begin{pmatrix} 99 \\ 3k \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 99 \\ 1 \end{pmatrix}\left( w+w^{2}\right) +\begin{pmatrix} 99 \\ 2 \end{pmatrix}\left( w+w^{2}\right) \\ +\ldots \begin{pmatrix} 99 \\ 49 \end{pmatrix}\left( w+w^{2}\right) =A+B\end{aligned}[/math]

 

 

 

[math]\sum ^{33}_{k=0}\begin{pmatrix} 99 \\ 3k \end{pmatrix}=A[/math]とおき、それ以降にある式全体をBとおく。

 

 

[math]w+w^{2}=-1[/math]したがって

 

 

 

[math]B=\left[ \begin{pmatrix} 99 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 99 \\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 99 \\ 4 \end{pmatrix}+\ldots +\begin{pmatrix} 99 \\ 49 \end{pmatrix}\right] \cdot \left( -1\right)[/math]

 

 

 

[math]\begin{aligned}\left( 1+w\right) ^{99}=\left( -w^{2}\right) ^{99}=\left( -w^{2}\right) ^{3\cdot 33}=\left( -w^{6}\right) ^{33}=\left( -1\right) ^{33}=-1\end{aligned}[/math]

 

 

A-B=－１となる。

 

 

（２）ｘ＝１の場合

 

 

[math]\left( 1+1\right) ^{99}=\sum ^{99}_{k=0}\begin{pmatrix} 99 \\ k \end{pmatrix}=A+2B=2^{99}[/math]

 

 

上の式とA-B=－１より

 

 

[math]A=\dfrac {2^{99}-2}{3}[/math]

 

 

[math]2+3\sum ^{33}_{k=0}\begin{pmatrix} 99 \\ 3k \end{pmatrix}=2+3\cdot \dfrac {2^{99}-2}{3}=2^{99}[/math]・・・答え