ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

（１）

$A-\lambda E=0$より

$\begin{aligned}\begin{pmatrix} 2-\lambda & \dfrac {3}{2} \\ \dfrac {3}{2} & 2-\lambda \end{pmatrix}=\left( 2-\lambda \right) ^{2}-\dfrac {9}{4}=\left( \lambda -\dfrac {1}{2}\right) \left( \lambda -\dfrac {7}{2}\right) =0\end{aligned}$

Aの固有値は、　　　　　　$\dfrac {1}{2},\dfrac {7}{2}$

（２）

$A=P\begin{pmatrix} \dfrac {1}{2} & 0 \\ 0 & \dfrac {7}{2} \end{pmatrix}P^{-1}$

なので

$\begin{aligned}F\left( \upsilon \right) ={}^t\!vAv={}^t\!v P\cdot \begin{pmatrix}\dfrac {1}{2} & 0 \\ 0 & \dfrac {7}{2} \end{pmatrix}\cdot P^{-1}v\end{aligned}$

$={}^t\!\left[ P^{-1}v\right] \begin{pmatrix} \dfrac {1}{2} & 0 \\ 0 & \dfrac {7}{2} \end{pmatrix}\left[ P^{-1}v\right]$

m＝（X,Y)とおくと、

${}^t\!ｍ\begin{pmatrix} \dfrac {1}{2} & 0 \\ 0 & \dfrac {7}{2} \end{pmatrix}ｍ=\dfrac {1}{2}X^{2}+\dfrac {7}{2}Y^{2}=1$

$\dfrac {X}{\left( \sqrt {2}\right) ^{2}}+\dfrac {Y^{2}}{\left( \sqrt {\dfrac {2}{7}}\right) ^{2}}=1$

$S=\pi \cdot \sqrt {2}\cdot \sqrt {\dfrac {2}{7}}=\dfrac {2\sqrt {7}\pi }{7}$

参考事項：楕円の面積の公式

$\begin{aligned}S=\pi ab\\ \left( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1\right) \end{aligned}$