ここで勉強すれば数学検定1級の壁は超えられるか。

MENU
数学検定1級の壁 TOP  >  数検1級の線形代数  >  行列42の解説 (行列の指数関数)

行列42の解説 (行列の指数関数)

 

[math]A=\begin{pmatrix} 0 & x \\ -x & o \end{pmatrix}[/math]のときの[math]e^{A}[/math]を求める。ただし[math]A^{0}=E[/math] (Eは単位行列)である。

 

 

 

 

[math]A=\begin{pmatrix} 0 & x \\ -x & o \end{pmatrix} ならば A^{2}=\begin{pmatrix} -x^{2}&  0 \\ 0 & -x^{2} \end{pmatrix}[/math]

 

 

[math]A^{3}=\begin{pmatrix} 0 & -x^{3} \\ x^{3} & 0 \end{pmatrix},A^{4}=\begin{pmatrix} x^{4} & 0 \\ 0 & x^{4} \end{pmatrix}[/math]

 

 

 

[math]A^{2}=-x^{2}A^{0}=-x^{2}E [/math](Eは単位行列)

 

 

 

[math]A^{3}=-x^{2}A[/math]        [math]A^{4}=-x^{2}A^{2}[/math]

 

 

 

したがって、[math]A^{n}=-x^{2}A^{n-2}[/math]になる。

 

 

 

 

また

[math]e^{A}=E+\dfrac {A}{1!}+\dfrac {A^{2}}{2!}+\ldots +\dfrac {A^{n}}{n!}+・・・[/math]  より

 

 

 

[math]e^{A}=( E+\dfrac {A^{2}}{2!}+\ldots +\dfrac {A^{2n}}{\left( 2n\right) !}+\ldots)+\left( \dfrac {A}{1!}+\dfrac {A^{3}}{3!}+\ldots +\dfrac {A^{2n+1}}{\left( 2n+1\right) !}+\ldots \right)[/math]

 

 

 

[math]=\begin{pmatrix} \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( -x^{2}\right) ^{n}}{\left( 2n\right) !} & 0 \\ 0 & \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( -x^{2}\right) ^{n}}{\left( 2n\right) !}\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 & \sum ^{\infty }_{n=0} & \dfrac {\left( -x^{2}\right) ^{n}}{\left( 2n+1\right) !}x  \\ \ \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( -x^{2}\right) ^{n}}{\left( 2n+1\right) !}\left( -x\right) &     0 & \end{pmatrix}
[/math]

 

 

 

 

 

[math]=\begin{pmatrix} \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( -x^{2}\right) ^{n}}{\left( 2n\right)!} & \sum ^{\infty }_{n=0} \dfrac {\left( -x^{2}\right) ^{n}}{\left( 2n+1\right)!}x \\ \ \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( -x^{2}\right) ^{n}}{\left( 2n+1\right)!}\left( -x\right) & \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( -x^{2}\right) ^{n}}{\left( 2n\right)!} \end{pmatrix}[/math]

 

 

 

 

[math]=\begin{pmatrix} \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( -1\right) ^{n}}{( 2n)!}x^{2n} & \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( -1\right) ^{n}}{\left( 2n+1\right) !}x^{2n+1} \\ \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( -1\right) ^{n+1}}{\left( 2n+1\right) !}x^{2n+1} & \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( -1\right) ^{n}}{( 2n)!}x^{2n} \end{pmatrix}[/math]

 

 

 

 

 

 

[math]=\begin{pmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x \end{pmatrix}[/math]・・・答え

 

 

 

別解

[math]J=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}[/math]とおくと、

 

 

 

[math] J^{2}=-E[/math]    [math]J^{3}=-J[/math]   [math]J^{4}=E[/math]

 

となる。

 

 

[math]\exp \left( xJ\right) =\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {1}{n!}\left( xJ\right) ^{n}[/math]なので

 

 

 

[math]=E+xJ -\dfrac {x^{2}}{2!}E-\dfrac {x^{3}}{3!}J+\dfrac {x^{4}}{4!}E+\dfrac {x^{5}}{5}J-\ldots [/math]

 

 

 

収束半径内では絶対収束するので、和の順序を交換可能であるから

 

 

[math]=\left( E-\dfrac {x^{2}}{2!}E+\dfrac {x^{4}}{4!}E-\dfrac {x^{6}}{6!}E+\ldots \right) +\left( xJ-\dfrac {x^{3}}{3!}J+\dfrac {x^{5}}{5!}J-\dfrac {x^{n}}{7!}J\ldots \right)[/math]

 

 

三角関数のマクローリン展開より

 

 

[math]=\left( \cos x\right) E+\left( \sin x\right) J=\begin{pmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x \end{pmatrix}[/math]  ・・・・・答え

 

 

 

 

 

同じカテゴリー「数検1級の線形代数」の一覧

3次正方行列のn乗(行列46)

類題   [math]B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -2 & 1 & 4 \end […]

記事の続きを読む

基底の取り替えと表現行列(行列45)

[math]R^{2}[/math]の基底を[math]a_{1},a_{2}[/math]  [math]R^{3}[/math]の基底を[math]b_{1},b_{2},b_{3}[/math] […]

記事の続きを読む

基底の変換行列(行列44)

  (1)線形写像 f:[math]R^{3}\rightarrow R^{2}[/math]が次の条件をみたすとき、fの定める行列を求めよ。     [math]f\b […]

記事の続きを読む

線形代数43(逆行列を求めるのに分数の計算を回避する方法)

  掃出し法で逆行列を求めると必ず計算ミスをする人は必見     あくまでも掃き出し法でする場合     [math]A=\begin{pmatrix […]

記事の続きを読む

行列42の解説 (行列の指数関数)

  [math]A=\begin{pmatrix} 0 & x \\ -x & o \end{pmatrix}[/math]のときの[math]e^{A}[/math]を求め […]

記事の続きを読む

Copyright© 2024 数学検定1級の壁

ページトップ