ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

$A=\begin{pmatrix} 0 & x \\ -x & o \end{pmatrix}$のときの$e^{A}$を求める。ただし$A^{0}=E$ (Eは単位行列）である。

 

 

 

 

$A=\begin{pmatrix} 0 & x \\ -x & o \end{pmatrix}　ならば　A^{2}=\begin{pmatrix} -x^{2}& 　0 \\ 0 & -x^{2} \end{pmatrix}$

 

 

$A^{3}=\begin{pmatrix} 0 & -x^{3} \\ x^{3} & 0 \end{pmatrix},A^{4}=\begin{pmatrix} x^{4} & 0 \\ 0 & x^{4} \end{pmatrix}$

 

 

 

$A^{2}=-x^{2}A^{0}=-x^{2}E$(Eは単位行列）

 

 

 

$A^{3}=-x^{2}A$        $A^{4}=-x^{2}A^{2}$

 

 

 

したがって、$A^{n}=-x^{2}A^{n-2}$になる。

 

 

 

 

また

$e^{A}=E+\dfrac {A}{1!}+\dfrac {A^{2}}{2!}+\ldots +\dfrac {A^{n}}{n!}+・・・$　　より

 

 

 

$e^{A}=( E+\dfrac {A^{2}}{2!}+\ldots +\dfrac {A^{2n}}{\left( 2n\right) !}+\ldots）＋\left( \dfrac {A}{1!}+\dfrac {A^{3}}{3!}+\ldots +\dfrac {A^{2n+1}}{\left( 2n+1\right) !}+\ldots \right)$

 

 

 

$=\begin{pmatrix} \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( -x^{2}\right) ^{n}}{\left( 2n\right) !} & 0 \\ 0 & \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( -x^{2}\right) ^{n}}{\left( 2n\right) !}\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 & \sum ^{\infty }_{n=0} & \dfrac {\left( -x^{2}\right) ^{n}}{\left( 2n+1\right) !}x  \\ \ \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( -x^{2}\right) ^{n}}{\left( 2n+1\right) !}\left( -x\right) & 　　　　0 & \end{pmatrix}$

 

 

 

 

 

$=\begin{pmatrix} \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( -x^{2}\right) ^{n}}{\left( 2n\right)!} & \sum ^{\infty }_{n=0} \dfrac {\left( -x^{2}\right) ^{n}}{\left( 2n+1\right)!}x \\ \ \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( -x^{2}\right) ^{n}}{\left( 2n+1\right)!}\left( -x\right) & \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( -x^{2}\right) ^{n}}{\left( 2n\right)!} \end{pmatrix}$

 

 

 

 

$=\begin{pmatrix} \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( -1\right) ^{n}}{( 2n)!}x^{2n} & \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( -1\right) ^{n}}{\left( 2n+1\right) !}x^{2n+1} \\ \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( -1\right) ^{n+1}}{\left( 2n+1\right) !}x^{2n+1} & \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( -1\right) ^{n}}{( 2n)!}x^{2n} \end{pmatrix}$

 

 

 

 

 

 

$=\begin{pmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x \end{pmatrix}$・・・答え

 

 

 

別解

$J=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$とおくと、

 

 

 

$J^{2}=-E$　　　　$J^{3}=-J$　　　$J^{4}=E$

 

となる。

 

 

$\exp \left( xJ\right) =\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {1}{n!}\left( xJ\right) ^{n}$なので

 

 

 

$=E+xJ -\dfrac {x^{2}}{2!}E-\dfrac {x^{3}}{3!}J+\dfrac {x^{4}}{4!}E+\dfrac {x^{5}}{5}J-\ldots$

 

 

 

収束半径内では絶対収束するので、和の順序を交換可能であるから

 

 

$=\left( E-\dfrac {x^{2}}{2!}E+\dfrac {x^{4}}{4!}E-\dfrac {x^{6}}{6!}E+\ldots \right) +\left( xJ-\dfrac {x^{3}}{3!}J+\dfrac {x^{5}}{5!}J-\dfrac {x^{n}}{7!}J\ldots \right)$

 

 

三角関数のマクローリン展開より

 

 

$=\left( \cos x\right) E+\left( \sin x\right) J=\begin{pmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x \end{pmatrix}$　　・・・・・答え