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線形代数43(逆行列を求めるのに分数の計算を回避する方法)

 

掃出し法で逆行列を求めると必ず計算ミスをする人は必見

 

 

あくまでも掃き出し法でする場合

 

 

[math]A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -5 & - 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}[/math]  の逆行列を掃出し法で求める。

(途中で分数の計算を回避して計算間違いをしないようにする方法)

 

 

 

 

 

 

 

[math]A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -5 & -2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}:\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/math]

 

 

②+①×5    ③-① より

 

 

[math]\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -12 & 6 \\ 0 & 5 & 0 \end{pmatrix}:\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/math]

 

 

②と③を入れ替える。

 

 

[math]\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & -12 & 6 \end{pmatrix} :\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 5 & 1 & 0 \end{pmatrix}[/math]

 

 

左側の5を1にすると右側が分数だらけになりそうなので、左側がE(単位行列)の30倍になるように操作する。

 

 

①×30   ②×6  ③×5

 

 

[math]\begin{pmatrix} 30 & -60 & 30 \\ 0 & 30 & 0 \\ 0 & -60 & 30 \end{pmatrix}:\begin{pmatrix} 30 & 0 & 0 \\ -6 & 0 & 6 \\ 25 & 5 & 0 \end{pmatrix}[/math]

 

 

①-③

 

 

[math]\begin{pmatrix} 30 & 0 & 0 \\ 0 & 30 & 0 \\ 0 & -60 & 30 \end{pmatrix}:\begin{pmatrix} 5 & -5 & 0 \\ -6 & 0 & 6 \\ 25 & 5 & 0 \end{pmatrix}[/math]

 

 

③+②×2

 

 

[math]\begin{pmatrix} 30 & 0 & 0 \\ 0 & 30 & 0 \\ 0 & 0 & 30 \end{pmatrix}:\begin{pmatrix} 5 & -5 & 0 \\ -6 & 0 & 6 \\ 13 & 5 & 12 \end{pmatrix}[/math]

 

 

 

[math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}:\dfrac {1}{30}\begin{pmatrix} 5 & -5 & 0 \\ -6 & 0 & 6 \\ 13 & 5 & 12 \end{pmatrix}[/math]

 

 

 

[math]A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac {1}{6} & -\dfrac {1}{6}& 0 \\ -\dfrac {1}{5} & 0 & \dfrac {1}{5} \\ \dfrac {13}{30} & \dfrac {1}{6} &\dfrac {2}{5} \end{pmatrix}[/math]・・・答え

 

 

余因子行列から逆行列を求める方法

 

 

Aの行列式を求める。

 

 

[math]\left| A\right| =\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -5 & -2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -8 & 6 \\ 0 & 5 & 0 \end{vmatrix}[/math]

 

[math]=\begin{vmatrix} -8 & 6 \\ 5 & 0 \end{vmatrix}=-30[/math]

 

余因子行列の転置行列   [math]t _\overline{A}=\begin{pmatrix} \overline{A_{11}} & \overline{A_{12}} & \overline{A_{13}} \\ \overline{A_{2}}_{1} & \overline{A_{2}}_{2} & \overline{A_{23}} \\ \overline{A_{31}} & \overline{A_{3}}_{2} & \overline{A_{33}} \end{pmatrix}[/math]

 

 

[math]=\begin{pmatrix} -5 & 6 & -13 \\ 5 & 0 & -5 \\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix}[/math]

 

 

余因子行列は[math]\overline{A}=\begin{pmatrix} -5 & 5 & 0 \\ 6 & 0 & -6 \\ -13 & -5 & -12 \end{pmatrix}[/math]

 

 

[math]A^{-1}=\dfrac{\overline{A}}{\left| A\right| }=\dfrac{1}{30}\begin{pmatrix} 5 & -5 & 0 \\ -6 & 0 & 6 \\ 13 & 5 & 12 \end{pmatrix}[/math]・・・答え

 

 

 

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