ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

掃出し法で逆行列を求めると必ず計算ミスをする人は必見

 

 

あくまでも掃き出し法でする場合

 

 

$A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -5 & - 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$  の逆行列を掃出し法で求める。

(途中で分数の計算を回避して計算間違いをしないようにする方法）

 

 

 

 

 

 

 

$A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -5 & -2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}:\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

 

 

②＋①×５　　　　③－①　より

 

 

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -12 & 6 \\ 0 & 5 & 0 \end{pmatrix}:\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

 

 

②と③を入れ替える。

 

 

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & -12 & 6 \end{pmatrix} :\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 5 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

 

 

左側の５を１にすると右側が分数だらけになりそうなので、左側がＥ（単位行列）の３０倍になるように操作する。

 

 

①×３０　　　②×6　　③×５

 

 

$\begin{pmatrix} 30 & -60 & 30 \\ 0 & 30 & 0 \\ 0 & -60 & 30 \end{pmatrix}:\begin{pmatrix} 30 & 0 & 0 \\ -6 & 0 & 6 \\ 25 & 5 & 0 \end{pmatrix}$

 

 

①－③

 

 

$\begin{pmatrix} 30 & 0 & 0 \\ 0 & 30 & 0 \\ 0 & -60 & 30 \end{pmatrix}:\begin{pmatrix} 5 & -5 & 0 \\ -6 & 0 & 6 \\ 25 & 5 & 0 \end{pmatrix}$

 

 

③＋②×２

 

 

$\begin{pmatrix} 30 & 0 & 0 \\ 0 & 30 & 0 \\ 0 & 0 & 30 \end{pmatrix}:\begin{pmatrix} 5 & -5 & 0 \\ -6 & 0 & 6 \\ 13 & 5 & 12 \end{pmatrix}$

 

 

 

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}:\dfrac {1}{30}\begin{pmatrix} 5 & -5 & 0 \\ -6 & 0 & 6 \\ 13 & 5 & 12 \end{pmatrix}$

 

 

 

$A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac {1}{6} & -\dfrac {1}{6}& 0 \\ -\dfrac {1}{5} & 0 & \dfrac {1}{5} \\ \dfrac {13}{30} & \dfrac {1}{6} &\dfrac {2}{5} \end{pmatrix}$・・・答え

 

 

余因子行列から逆行列を求める方法

 

 

Aの行列式を求める。

 

 

$\left| A\right| =\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -5 & -2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -8 & 6 \\ 0 & 5 & 0 \end{vmatrix}$

 

$=\begin{vmatrix} -8 & 6 \\ 5 & 0 \end{vmatrix}=-30$

 

余因子行列の転置行列　　　$t _\overline{A}=\begin{pmatrix} \overline{A_{11}} & \overline{A_{12}} & \overline{A_{13}} \\ \overline{A_{2}}_{1} & \overline{A_{2}}_{2} & \overline{A_{23}} \\ \overline{A_{31}} & \overline{A_{3}}_{2} & \overline{A_{33}} \end{pmatrix}$

 

 

$=\begin{pmatrix} -5 & 6 & -13 \\ 5 & 0 & -5 \\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix}$

 

 

余因子行列は$\overline{A}=\begin{pmatrix} -5 & 5 & 0 \\ 6 & 0 & -6 \\ -13 & -5 & -12 \end{pmatrix}$

 

 

$A^{-1}=\dfrac{\overline{A}}{\left| A\right| }=\dfrac{1}{30}\begin{pmatrix} 5 & -5 & 0 \\ -6 & 0 & 6 \\ 13 & 5 & 12 \end{pmatrix}$・・・答え