ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

[math]R^{2}[/math]の基底を[math]a_{1},a_{2}[/math]　　[math]R^{3}[/math]の基底を[math]b_{1},b_{2},b_{3}[/math]に取ったときのｆの表現行列がAとします。

 

 

 

[math]\left( f\left( a_{1}\right) ,f\left( a_{2}\right) \right)=\left( b_{1},b_{2},b_{3}\right)[/math]・・・（１）

 

 

 

ここで[math]R^{2}[/math]の基底を[math]\left( a_{1},a_{2}\right)[/math]から、[math]\left( a'_{1},a'_{2}\right)[/math]に取り替えたとすると、その取替え行列Pとすると

 

 

[math] \left( a'_{1},a'_{2}\right) =\left(  a_{1},a_{2}\right) P[/math]

 

 

この式から、[math]\left( a'_{1},a'_{2}\right)[/math]のｆの移り先は、

 

 

[math]\left( f\left( a'_{1}\right) ,f\left( a'_{2}\right) \right) =\left( f\left( a_{1}\right) ,f\left( a_{2}\right) \right) P[/math]・・・（２）

 

 

 

[math]R^{3}[/math]の基底を[math]\left( b_{1},b_{2},b_{3}\right)[/math]から[math]\left( b'_{1},b'_{2},b'_{3}\right)[/math]に取り替えたとすると取り替え行列をQとする。

 

 

[math]\left( b'_{1},b'_{2},b'_{3}\right) =\left( b_{1},b_{2},b_{3}\right) Q[/math]より

 

 

 

[math]\left( b'_{1},b'_{2},b'_{3}\right)Q^{-1}=\left( b_{1},b_{2},b_{3}\right) [/math]・・・（３）

 

 

 

（２）（１）（３）と順に追っていくと、

 

 

[math]\left( f\left( a'_{1}\right) ,f\left( a'_{2}\right) \right)=\left( f\left( a_{1}\right) ,f\left( a_{2}\right) \right) P=\left( b_{1},b_{2},b_{3}\right)AP=\left( b'_{1},b'_{2},b'_{3}\right)Q^{-1}AP[/math]

 

 

この式から、

 

 

[math]R^{2}[/math]の基底を[math]a'_{1},a'_{2}[/math][math]R^{3}[/math]の基底を[math]b'_{1},b'_{2},b'_{3}[/math]に取ったときの

 

ｆの表現行列は[math]Q^{-1}AP[/math]となる。

 

 

 

 

問題

 

[math]R^{3}[/math]の基底を[math]a_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix},a_{2}=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix},a_{3}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}[/math]　　

　

[math]R^{2}[/math]の基底を[math]b_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix},b_{2}=\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}[/math]に取ったとき、

 

[math]R^{3}[/math]から　[math]R^{2}[/math]への線形写像ｆの表現行列A=[math]\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}[/math]であらわせる。

 

 

[math]R^{3}[/math]の基底を[math]a'_{1}=\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix},a'_{2}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix},a'_{3}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}[/math]に

 

[math]R^{2}[/math]の基底を[math]b'_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},b'_{2}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/math]に取り替えたときの線形写像ｆの表現行列を求めなさい。

 

 

 

 

 

 

 

[math]\left( f\left( a_{1}\right) ,f\left( a_{2}\right) ,f\left( a_{3}\right) \right)=\left( b_{1},b_{2}\right)A[/math]

 

 

ここで[math]R^{3}, R^{2}[/math]の基底の取り替え行列をP，Qとすると[math]\left( a'_{1},a'_{2},a'_{3}\right)=\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right)P[/math]

 

 

[math]\left( b'_{1},b'_{2}\right)=\left( b_{1},b_{2}\right)Q[/math]

 

 

これより

 

 

[math] P=\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right)^{-1} \left( a'_{1},a'_{2},a'_{3}\right)[/math]

 

 

[math]Q^{-1}=(( f\left( b'_{1}\right) ,f\left( b'_{2}\right) )^{-1}\left( f\left( b_{1}\right) ,f\left( b_{2}\right) \right) [/math]

 

取り替え後のｆの表現行列は、

 

 

[math]\left( f\left( a'_{1}\right) ,f\left( a'_{2}\right) ,f\left( a'_{3}\right) \right)=\left( f\left( a_{1}\right) ,f\left( a_{2}\right) ,f\left( a_{3}\right) \right)P[/math]

 

 

 

[math]=\left( b_{1},b_{2}\right)AP=\left( b'_{1},b'_{2}\right)Q^{-1}AP[/math]より

 

 

[math]Q^{-1}AP=( f\left( b'_{1}\right) ,f\left( b'_{2}\right) ）^{-1}\left( b'_{1},b'_{2}\right)A\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right)^{-1} \left( a'_{1},a'_{2},a'_{3}\right)
[/math]より

 

 

[math]Q^{-1}AP=\begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} & 3 & 2 & 0 \\ & 8 & 3 & 3 \\ & 17 & 6 & 7 \end{pmatrix}[/math]

 

 

[math]=\begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} & 3 & 2 & 0 \\ & 8 & 3 & 3 \\ & 17 & 6 & 7 \end{pmatrix}[/math]

 

 

 

[math]=\begin{pmatrix} -10 & -1 & 4 \\ 7 & 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 8 & 3 & 3 \\  17 & 6 & 7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 30 & 1 & 25 \\ -22 & -1 & -18 \end{pmatrix}[/math]・・・答え