ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

$R^{2}$の基底を$a_{1},a_{2}$　　$R^{3}$の基底を$b_{1},b_{2},b_{3}$に取ったときのｆの表現行列がAとします。

 

 

 

$\left( f\left( a_{1}\right) ,f\left( a_{2}\right) \right)=\left( b_{1},b_{2},b_{3}\right)$・・・（１）

 

 

 

ここで$R^{2}$の基底を$\left( a_{1},a_{2}\right)$から、$\left( a'_{1},a'_{2}\right)$に取り替えたとすると、その取替え行列Pとすると

 

 

$\left( a'_{1},a'_{2}\right) =\left(  a_{1},a_{2}\right) P$

 

 

この式から、$\left( a'_{1},a'_{2}\right)$のｆの移り先は、

 

 

$\left( f\left( a'_{1}\right) ,f\left( a'_{2}\right) \right) =\left( f\left( a_{1}\right) ,f\left( a_{2}\right) \right) P$・・・（２）

 

 

 

$R^{3}$の基底を$\left( b_{1},b_{2},b_{3}\right)$から$\left( b'_{1},b'_{2},b'_{3}\right)$に取り替えたとすると取り替え行列をQとする。

 

 

$\left( b'_{1},b'_{2},b'_{3}\right) =\left( b_{1},b_{2},b_{3}\right) Q$より

 

 

 

$\left( b'_{1},b'_{2},b'_{3}\right)Q^{-1}=\left( b_{1},b_{2},b_{3}\right)$・・・（３）

 

 

 

（２）（１）（３）と順に追っていくと、

 

 

$\left( f\left( a'_{1}\right) ,f\left( a'_{2}\right) \right)=\left( f\left( a_{1}\right) ,f\left( a_{2}\right) \right) P=\left( b_{1},b_{2},b_{3}\right)AP=\left( b'_{1},b'_{2},b'_{3}\right)Q^{-1}AP$

 

 

この式から、

 

 

$R^{2}$の基底を$a'_{1},a'_{2}$$R^{3}$の基底を$b'_{1},b'_{2},b'_{3}$に取ったときの

 

ｆの表現行列は$Q^{-1}AP$となる。

 

 

 

 

問題

 

$R^{3}$の基底を$a_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix},a_{2}=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix},a_{3}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$　　

　

$R^{2}$の基底を$b_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix},b_{2}=\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$に取ったとき、

 

$R^{3}$から　$R^{2}$への線形写像ｆの表現行列A=$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$であらわせる。

 

 

$R^{3}$の基底を$a'_{1}=\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix},a'_{2}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix},a'_{3}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$に

 

$R^{2}$の基底を$b'_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},b'_{2}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$に取り替えたときの線形写像ｆの表現行列を求めなさい。

 

 

 

 

 

 

 

$\left( f\left( a_{1}\right) ,f\left( a_{2}\right) ,f\left( a_{3}\right) \right)=\left( b_{1},b_{2}\right)A$

 

 

ここで$R^{3}, R^{2}$の基底の取り替え行列をP，Qとすると$\left( a'_{1},a'_{2},a'_{3}\right)=\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right)P$

 

 

$\left( b'_{1},b'_{2}\right)=\left( b_{1},b_{2}\right)Q$

 

 

これより

 

 

$P=\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right)^{-1} \left( a'_{1},a'_{2},a'_{3}\right)$

 

 

$Q^{-1}=(( f\left( b'_{1}\right) ,f\left( b'_{2}\right) )^{-1}\left( f\left( b_{1}\right) ,f\left( b_{2}\right) \right)$

 

取り替え後のｆの表現行列は、

 

 

$\left( f\left( a'_{1}\right) ,f\left( a'_{2}\right) ,f\left( a'_{3}\right) \right)=\left( f\left( a_{1}\right) ,f\left( a_{2}\right) ,f\left( a_{3}\right) \right)P$

 

 

 

$=\left( b_{1},b_{2}\right)AP=\left( b'_{1},b'_{2}\right)Q^{-1}AP$より

 

 

$Q^{-1}AP=( f\left( b'_{1}\right) ,f\left( b'_{2}\right) ）^{-1}\left( b'_{1},b'_{2}\right)A\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right)^{-1} \left( a'_{1},a'_{2},a'_{3}\right)$より

 

 

$Q^{-1}AP=\begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} & 3 & 2 & 0 \\ & 8 & 3 & 3 \\ & 17 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

 

 

$=\begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} & 3 & 2 & 0 \\ & 8 & 3 & 3 \\ & 17 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

 

 

 

$=\begin{pmatrix} -10 & -1 & 4 \\ 7 & 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 8 & 3 & 3 \\  17 & 6 & 7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 30 & 1 & 25 \\ -22 & -1 & -18 \end{pmatrix}$・・・答え