ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

（１）線形写像　ｆ：[math]R^{3}\rightarrow R^{2}[/math]が次の条件をみたすとき、ｆの定める行列を求めよ。

 

 

[math]f\begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ -3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix},f\begin{bmatrix} 6 \\ 9 \\ -2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\- 2 \end{bmatrix},f\begin{bmatrix} -4 \\ -6 \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
[/math]

 

 

 

 

 

 

ｆの定める行列をＡとすると

 

 

 

[math]A\begin{bmatrix} 5 & 6 & -4 \\ 7 & 9 & -6 \\ -3 & -2 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}[/math]となり

 

 

 

 

[math]A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & 6 & -4 \\ 7 & 9 & -6 \\ -3 & -2 & 1 \end{bmatrix}^{-1}[/math]より

 

 

 

逆行列の行列式は[math]\begin{vmatrix} 5 & 6 & -4 \\ 7 & 9 & -6 \\ -3 & -2 & 1 \end{vmatrix}=45+108+56-108-60-42=-1[/math]　

 

したがって逆行列は[math]\begin{bmatrix} 3 & -2 & 0 \\ -11 & 7 & -2 \\ -13 & 8 & 3 \end{bmatrix}[/math]

 

 

 

[math]A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & -2 & 0 \\ -11 & 7 & -2 \\ -13 & 8 & 3 \end{bmatrix}[/math]

 

 

 

[math]A=\begin{bmatrix} -10 & 6 & -3 \\ 9 & -6 & 1 \end{bmatrix}[/math]・・・（１）の答え

 

 

 

 

（２）

 

 

部分空間の基底[math]\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}[/math]から　[math]\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix}[/math]へ変換する行列を求めなさい。

 

 

変換する行列をＰとおくと

 

 

[math]\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -3 \\ 1 & -2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}P[/math]となり

 

 

 

Ｐを求めるために[math]\begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & -3 \\ 1 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & -2 & 2 \end{bmatrix}[/math]と行列を並べます。

 

 

 

 

１行と２行を入れ替えて

[math]\begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & -2 & 2 \end{bmatrix}[/math]→[math]\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}[/math]

 

 

これを行に関する基本変形を用いて

 

 

[math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & \Delta & \Delta \\ 0 & 1 & \Delta & \Delta \\ \Delta & \Delta & \Delta & \Delta \\ \Delta & \Delta & \Delta & \Delta \end{pmatrix}[/math]の形に変形します。

 

 

１行目に２行目を加えると

 

[math]\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & -2 & 2 \end{bmatrix}[/math]

 

 

[math]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ \Delta & \Delta & \Delta & \Delta \\ \Delta & \Delta & \Delta & \Delta \end{bmatrix}[/math]　　の右上の２行２列をとって

 

 

 

[math]\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}[/math]・・・（２）答え