ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

関数$\dfrac {1}{\left( 1-x\right) ^{3}}$の$\left| x\right| <1$におけるマクローリン展開

$\dfrac {1}{\left( 1-x\right) ^{3}}=\sum ^{\infty }_{n=0}a_{n}x^{n}$について$a_{n}$をｎを用いて表す。

$\dfrac {1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots \left( \left| x\right| \right) <\left( 1\right)$

両辺を微分すると

$\dfrac {1}{\left( 1-x\right) ^{2}}=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+5x^{4}+\ldots$　

さらに両辺を微分すると

$\dfrac {2}{\left( 1-x\right) ^{3}}=2+3\cdot 2x+4\cdot 3x^{2}+5\cdot 4x^{3}+\ldots+\left( n+2\right) \left( n+1\right) x^{n}+\ldots$

$\dfrac {1}{\left( 1-x\right) ^{3}}=\dfrac {2\cdot 1}{2}+\dfrac {3\cdot 2}{2}x+\dfrac {4\cdot 3}{2}x^{2}+\ldots +\dfrac {\left( n+2\right) \left( n+1\right) }{2}x^{n}+\ldots$

$a_{n}=\dfrac {\left( n+1\right) \left( n+2\right) }{2}$・・・答え