ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

関数[math]\dfrac {1}{\left( 1-x\right) ^{3}}[/math]の[math]\left| x\right| <1[/math]におけるマクローリン展開

[math]\dfrac {1}{\left( 1-x\right) ^{3}}=\sum ^{\infty }_{n=0}a_{n}x^{n}[/math]について[math]a_{n}[/math]をｎを用いて表す。

[math]\dfrac {1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots \left( \left| x\right| \right) <\left( 1\right)[/math]

両辺を微分すると

[math]\dfrac {1}{\left( 1-x\right) ^{2}}=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+5x^{4}+\ldots[/math]　

さらに両辺を微分すると

[math]\dfrac {2}{\left( 1-x\right) ^{3}}=2+3\cdot 2x+4\cdot 3x^{2}+5\cdot 4x^{3}+\ldots+\left( n+2\right) \left( n+1\right) x^{n}+\ldots[/math]

[math]\dfrac {1}{\left( 1-x\right) ^{3}}=\dfrac {2\cdot 1}{2}+\dfrac {3\cdot 2}{2}x+\dfrac {4\cdot 3}{2}x^{2}+\ldots +\dfrac {\left( n+2\right) \left( n+1\right) }{2}x^{n}+\ldots[/math]

[math]a_{n}=\dfrac {\left( n+1\right) \left( n+2\right) }{2}[/math]・・・答え