２変数関数のマクローリン展開

 

２変数のマクローリンの定理

 

$Df=\left( h\dfrac{\partial }{\partial x}+k\dfrac{\partial }{\partial y}\right) f=hf_{x}+kf_{y}$

 

 

$D^{2}f=\left( h\dfrac{\partial }{\partial x}+k\dfrac{\partial }{\partial y}\right) ^{2}=h^{2}f_{xx}+hk\left( f_{xy}+f_{yx}\right) +kf_{yy}$

 

 

$f_{xy}=f_{yx}$のとき

 

$D^{2}f=h^{2}f_{x,c}+2hkf_{xy}+k^{2}f_{yy}$

 

以下同様にして、偏微分作用素$D^{n}=\left( h\dfrac{\partial }{\partial x}+k\dfrac{\partial }{\partial y}\right) ^{n}$が定義される。

 

 

 

Ｆ（ｘ，ｙ）がn次までの連続な偏導関数をもつならば

 

$f\left( x,y\right) =f\left( 0,0\right) +\dfrac{1}{1!}Df\left( 0,0\right) +\dfrac{1}{2!}D^{2}f\left( 0,0\right) +\ldots +\dfrac{1}{\left( n-1\right) !}D^{n-1}f\left( 0,0\right)+\dfrac{1}{n!}D^{n}f\left( \theta x,\theta y\right)$

 

 

を満たす$\theta ( 0 <\theta < 1)$が存在する。

 

 

 

ここでは２変数関数$f\left( x,y\right)$のマクローリン展開

 

 

$f\left( x,y\right) =f\left( 0,0\right) +\dfrac{1}{1!}\left( x\dfrac{\partial }{\partial x}+y\dfrac{\partial }{\partial y}\right)$

 

 

$+\dfrac{1}{2!}\left( x\dfrac{\partial }{\partial x}+y\dfrac{\partial }{\partial y}\right) ^{2}f\left( 0,0\right)$

 

 

$+\ldots +\dfrac{1}{n!}\left( x\dfrac{\partial }{\partial x}+y\dfrac{\partial }{\partial y}\right) ^{n}f\left( 0,0\right) +\ldots$

 

を使います。

 

 

問題

$f\left( x,y\right) =\sqrt{1+x+y}$のマクローリン展開を２次の項まで求めなさい。

 

 

 

 

$f_{x}\left( x,y\right) =\dfrac{1}{2}\left( 1+x+y\right) ^{-\dfrac{1}{2}}$

 

 

 

$f_{y}\left( x_{2}y\right) =\dfrac{1}{2}\left( 1+x+y\right) ^{-\dfrac{1}{2}}$

 

 

$f_{xy}\left( x,y\right) =f_{xx}\left( x_{3}y\right) =f_{yy}\left( x,y\right) =-\dfrac{1}{4}\left( 1+x+y\right) ^{-\dfrac{3}{2}}$

 

 

$f\left( 0,0\right) =1$

 

 

$f_{x}\left( 0,0\right) =f_{y}\left( 0,0\right) =\dfrac{1}{2}$

 

 

$f_{xx}\left( 0,0\right) =f_{yy}\left( 0,0\right) =f_{xy}\left( 0,0\right) =-\dfrac{1}{4}$

 

 

したがって

 

 

$\sqrt{1+x+y}=f\left( 0,0\right) +f_{x}\left( 0,0\right) x+f_{y}\left( 0,0\right) y$
$+\dfrac{1}{2}\left( f_{xx}\left( 0,0\right) x^{2}+2f_{xy}\left( 0,0\right) xy+f_{yy}\left( 0,0\right) y^{2}\right)+\ldots$

 

 

 

$=1+\dfrac{1}{2}\left( x+y\right) -\dfrac{1}{8}\left( x+y\right) ^{2}$・・・答え