ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。
MENU
数学検定１級の壁 TOP > 数検1級の微分 > 微分１５の解説（２階偏微分）
微分１５の解説（２階偏微分）
x2+y2+z2+2x+2y+2z=0 のとき
∂2z∂2x2+∂2z∂2y2 をｚの式で表す。
x2+y2+z2+2x+2y+2z=0をｘで偏微分して２で割ると
x+z∂z∂x+1+∂z∂x=0・・・①
式を変形すると
∂z∂x=−x+1z+1・・・②
①の式を再度ｘで偏微分すると
1+z∂z∂x+(z+1)∂2z∂x2=0・・・③
同様に∂2z∂2x2+∂2z∂2y2 をｙで偏微分すると
y+z∂z∂y+1+∂z∂y=0・・・④
④を変形すると
∂z∂y=−y+1z+1・・・⑤
④の式を再度ｙで偏微分すると
1+(∂z∂y)2+(z+1)∂2z∂y2=0・・・⑥
③＋⑥より
2+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2+(z+1)(∂2z∂x2+∂2z∂y2)=0
式変形して
(z+1)(∂2z∂x2+∂2z∂y2)=−2−(∂z∂x)2−(∂z∂y)2・・・⑦
②と⑤を使って
(∂z∂x)2+(∂z∂y)2=x2+y2+2x+2y+2(z+1)2=−z2+2z−2(z+1)2・・・⑧
⑧を⑦に代入して
∂2z∂x2+∂2z∂y2=−z2+2z+4(z+1)3・・・答え
別解
x2+y2+z2+2x+2y+2z=0 を変形して
z2+2z+(x2+y2+2x+2y)=0
２次方程式の解の公式より
z=−1±√1−x2−y2−2x−2y・・・①
∂z∂x=±12⋅−2x−2√1−x2−y2−2x−2y=±−x−1√1−x2−y2−2x−2y
∂2z∂x2=±{−1√1−x2−y2−2x−2y−12⋅(−x−1)（−2x−2）(√1−x2−y2−2x−2y)3}
=±−(1−x2−y2−2x−2y)−(x2+2x+1)(√1−x2−y2−2x−2y)3
=±−(2−y2−2y)√(1−x2−y2−2x−2y)3
同様に
∂z2∂y2=±−(2−x2−2x)(√1−x2−y2−2x−2y)3
∂2z∂x2+∂2zdy2=±−(4−x2−y2−2x−2y)(√1−x2−y2−2x−2y)3
ここで①より
z+1=±√1−x2−y2−2x−2y
(z+1)2=1−x2−y2−2x−2y
(z+1)3=(√1−x2−y2−2x−2y)3
したがって
∂2z∂x2+∂2z∂y2=−(3+(z+1)2)(z+1)3=−z2+2z+4(z+1)3
−z2+2z+4(z+1)3・・・答え
同じカテゴリー「数検1級の微分」の一覧
微分１7(２変数関数のマクローリン展開)
２変数のマクローリンの定理 [math]Df=\left( h\dfrac{\partial }{\partial x}+k\dfrac{\partial }{\parti […]
Copyright© 2025 数学検定１級の壁
