ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

曲線　[math]z=\tan ^{-1}\dfrac {y}{x}[/math]([math]x\neq 0[/math])は

[math]( -\dfrac {\pi }{2}<z <\dfrac {\pi }{2}[/math]）の条件がある。

①　[math]\dfrac {\partial z}{\partial x}[/math]を求める。

[math]\left( \tan ^{-1}x\right) '=\dfrac {1}{x^{2}+1}[/math]より

[math]\dfrac {\partial z}{\partial x}=\dfrac {1}{\left( \dfrac {y}{x}\right) ^{2}+1}\cdot \left( -\dfrac {y}{x^{2}}\right)=-\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}[/math]・・・①の答え　

②　

この曲線上の点（ｘ，ｙ，ｚ）＝[math]\left( 1,-1,-\dfrac {\pi }{4}\right)[/math]における接面方程式を求める。

[math]\dfrac {\partial z}{\partial y}=\dfrac {1}{\left( \dfrac {y}{x}\right) ^{2}+1}\left( \dfrac {1}{x}\right) =\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}[/math]

曲面上の[math]\left( 1,-1,-\dfrac {\pi }{4}\right)[/math]における法線ベクトルは[math]\left( \dfrac {\partial z}{\partial x},\dfrac {\partial z}{\partial y},-1\right)[/math]なので、

[math]\left( -\dfrac {\left( -1\right) }{| 2+\left( -1\right) ^{2}},\dfrac {1}{1^{2}+\left( -1\right) ^{2}},-1\right)=\left( \dfrac {1}{2},\dfrac {1}{2},-1\right)[/math]

よって求める接面方程式は

[math]\dfrac {1}{2}\left( x-1\right) +\dfrac {1}{2}\left( y+1\right) -\left( z+\dfrac {\pi }{4}\right) =\dfrac {1}{2}x+\dfrac {1}{2}y-z-\dfrac {\pi }{4}=0[/math]

[math]x+y-2z=\dfrac {\pi }{2}[/math]・・・②の答え