ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

曲線　$z=\tan ^{-1}\dfrac {y}{x}$($x\neq 0$)は

$( -\dfrac {\pi }{2}<z <\dfrac {\pi }{2}$）の条件がある。

①　$\dfrac {\partial z}{\partial x}$を求める。

$\left( \tan ^{-1}x\right) '=\dfrac {1}{x^{2}+1}$より

$\dfrac {\partial z}{\partial x}=\dfrac {1}{\left( \dfrac {y}{x}\right) ^{2}+1}\cdot \left( -\dfrac {y}{x^{2}}\right)=-\dfrac {y}{x^{2}+y^{2}}$・・・①の答え　

②　

この曲線上の点（ｘ，ｙ，ｚ）＝$\left( 1,-1,-\dfrac {\pi }{4}\right)$における接面方程式を求める。

$\dfrac {\partial z}{\partial y}=\dfrac {1}{\left( \dfrac {y}{x}\right) ^{2}+1}\left( \dfrac {1}{x}\right) =\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}$

曲面上の$\left( 1,-1,-\dfrac {\pi }{4}\right)$における法線ベクトルは$\left( \dfrac {\partial z}{\partial x},\dfrac {\partial z}{\partial y},-1\right)$なので、

$\left( -\dfrac {\left( -1\right) }{| 2+\left( -1\right) ^{2}},\dfrac {1}{1^{2}+\left( -1\right) ^{2}},-1\right)=\left( \dfrac {1}{2},\dfrac {1}{2},-1\right)$

よって求める接面方程式は

$\dfrac {1}{2}\left( x-1\right) +\dfrac {1}{2}\left( y+1\right) -\left( z+\dfrac {\pi }{4}\right) =\dfrac {1}{2}x+\dfrac {1}{2}y-z-\dfrac {\pi }{4}=0$

$x+y-2z=\dfrac {\pi }{2}$・・・②の答え