ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

 

次の逆行列を求める。ただし、ｘは０でなく、かつ逆行列をもつような実数とする。

$\begin{pmatrix} -1 & 1+x & 1+x^{-1} \\ 1+x^{-1} & -1 & 1+x \\ 1+x & 1+x^{-1} & -1 \end{pmatrix}$

 

 

 

 

 

 

余因子行列を行列式で割って逆行列を求める。

 

 

$A=\begin{pmatrix} -1 & 1+x & 1+x^{-1} \\ 1+x^{-1} & -1 & 1+x \\ 1+x & 1+x^{-1} & -1 \end{pmatrix}$の逆行列を求める。

 

 

$\left| A\right|=\begin{vmatrix} -1 & 1+x & 1+x^{-1} \\ 1+x^{-1} & -1 & 1+x \\ 1+x & 1+x^{-1} & -1 \end{vmatrix}$

 

 

第２列と第３列を第１列に加える。　

 

 

$=\begin{vmatrix} 1+x+x^{-1} & 1+x & 1+x^{-1} \\ 1+x+x^{-1} & -1 & 1+x \\ 1+x+x^{-1} & 1+x^{-1} & -1 \end{vmatrix}$

 

 

$=\left( 1+x+x^{-1}\right) \begin{vmatrix} 1 & 1+x & 1+x^{-1} \\ 1 & -1 & 1+x \\ 1 & 1+x^{-1} & -1 \end{vmatrix}$

 

 

第２行－第１行　　第３行－第１行

 

 

$=\left( 1+x+x^{-1}\right) \begin{vmatrix} 1 & 1+x & 1+x^{-1}\\ 0 & -2-x & x-x^{-1} \\ 0 & x^{-1}-x & -2-x^{-1} \end{vmatrix}$

 

 

$=\left( 1+x+x^{-1}\right) \left\{ \left( 2+x\right) \left( 2+x^{-1}\right) +\left( x-x^{-1}\right) ^{2}\right\}$　

 

 

また,

 

 

$\left( 2+x\right) \left( 2+x^{-1}\right) +\left( x-x^{-1}\right) ^{2}$

 

 

$=4+2x^{-1}+2x+1+x^{2}-2+x^{-2}=x^{2}+\dfrac {1}{x^{2}}+2x+2x^{-1}+3$

 

 

$=\left( x+\dfrac {1}{x}\right) ^{2}-2+2\left( x+\dfrac {1}{x}\right) +3=\left( x+x^{-1}+1\right) ^{2}$

 

 

$\left| A\right| =\left( x+x^{-1}+1\right) ^{3}$

 

 

 

$A^{-1}=\dfrac {1}{\left| A\right| }\begin{pmatrix} \overline {A_{11}} & \overline {A_{21}} & \overline {A_{31}} \\ \overline {A_{21}}& \overline {A_{22}} & \overline {A_{23}} \\ \overline {A_{31}} & \overline {A_{32}} & \overline {A_{33}} \end{pmatrix}$

 

 

 

 

 

$=\dfrac {1}{\left| A\right| }\begin{pmatrix} \ 1-\left( 1+x\right) \left( 1+x^{-1}\right) & 1+x+\left( 1+x^{-1}\right) ^{2} & \left( 1+x\right) ^{2}+1+x^{-1}  \\1+x^{-1}+\left( 1+x\right) ^{2} & 1-\left( 1+x\right) \left( 1+x^{-1}\right) & 1+x+\left( 1+x^{-1}\right) ^{2} \\ \left( 1+x^{-1}\right) ^{2}+1+x & 1+x^{-1}+\left( 1+x\right) ^{2} & 1-\left( 1+x\right) \left( 1+x^{-1}\right) \end{pmatrix}$

 

 

 

 

 

$=\dfrac {1}{\left| A\right| }\begin{pmatrix} -\left( 1+x+x^{-1}\right) & \left( 1+x+x^{-1}\right) \left( 1+x^{-1}\right) & \left( 1+x+x^{-1}\right) \left( 1+x\right)  \\\left( 1+x+x^{-1}\right) \left( 1+x\right) & -\left( 1+x+x^{-1}\right) & \left( 1+x+x^{-1}\right) \left( 1+x^{-1}\right) \\ \left( 1+x+x^{-1}\right) \left( 1+x^{-1}\right) & \left( 1+x+x^{-1}\right) \left( 1+x^{-1}\right) & -\left( 1+x+x^{-1}\right) \end{pmatrix}$

 

 

 

 

$=\dfrac {1}{\left( 1+x+x-1\right) ^{2}}\begin{pmatrix} -1 & \left( 1+x^{-1}\right) \ & 1+x  \\ 1+x & -1 & \left( 1+x^{-1}\right)  \\\left( 1+x^{-1}\right) & 1+x & -1 \end{pmatrix}$・・・答え