ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

３次正方行列の$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

 

 

①　固有値を求める。

 

 

②　ｎが２以上の整数のとき、$A^{n}$ を求める。

 

 

 

 

 

 

①

$\left| A-\lambda E\right| =\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & -1 \\ 1 & -2-\lambda & 1 \\ 1 & -1 & -\lambda \end{vmatrix}=0$

 

 

$\lambda \left( 2+\lambda \right) \left( 1-\lambda \right) +1-\left( 2+\lambda \right) +1-\lambda =0$　

 

 

$\lambda ^{2}\left( \lambda +1\right) =0$

 

 

 

λ＝０（重複度２），-1・・・①の答え

 

 

 

 

②

固有方程式$\lambda ^{2}\left( \lambda +1\right) =0$で、ケーリーハミルトンの定理から、

 

 

$A^{2}\left( A+1\right) =O$

 

 

$A^{3}=-A^{2}$

 

 

$A^{4}=A^{3}A=-A^{2}A=-A^{3}=A^{2}$

 

 

 

$A^{5}=A^{4}A=A^{2}A=A^{3}=-A^{2}$

 

 

$A^{6}=A^{5}A=\left( -A^{2}\right) A=-A^{3}=A^{2}$

 

 

以上より、

 

$A^{n}=\left( -1\right) ^{n}A^{2}$　と推測できる。

 

 

ｎ＝２，３で上の式は成立することは明らかである。

 

また、ｎ＝ｋで成り立つと仮定すると、ｎ＝ｋ＋１では

 

$A^{k+1}=A^{k}A=\left( -1\right) ^{k}A^{2}A=\left( -1\right) ^{k}A^{3}=\left( -1\right) ^{k+1}A^{2}$

 

 

より数学的帰納法からｎ≧２の整数のとき、

 

$A^{n}=\left( -1\right) ^{n}A^{2}$が成り立つ

 

 

また、

 

$A^{2}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}$

 

 

$A^{n}=\left( -1\right) ^{n}A^{2}=\left( -1\right) ^{n}\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}$

 

したがって

 

$\left( -1\right) ^{n}\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}$・・・②の答え