ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

３次正方行列の[math]A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}[/math]

 

 

①　固有値を求める。

 

 

②　ｎが２以上の整数のとき、[math]A^{n}[/math] を求める。

 

 

 

 

 

 

①

[math]\left| A-\lambda E\right| =\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & -1 \\ 1 & -2-\lambda & 1 \\ 1 & -1 & -\lambda \end{vmatrix}=0[/math]

 

 

[math]\lambda \left( 2+\lambda \right) \left( 1-\lambda \right) +1-\left( 2+\lambda \right) +1-\lambda =0[/math]　

 

 

[math]\lambda ^{2}\left( \lambda +1\right) =0[/math]

 

 

 

λ＝０（重複度２），-1・・・①の答え

 

 

 

 

②

固有方程式[math]\lambda ^{2}\left( \lambda +1\right) =0[/math]で、ケーリーハミルトンの定理から、

 

 

[math]A^{2}\left( A+1\right) =O[/math]

 

 

[math]A^{3}=-A^{2}[/math]

 

 

[math]A^{4}=A^{3}A=-A^{2}A=-A^{3}=A^{2}[/math]

 

 

 

[math]A^{5}=A^{4}A=A^{2}A=A^{3}=-A^{2}[/math]

 

 

[math]A^{6}=A^{5}A=\left( -A^{2}\right) A=-A^{3}=A^{2}[/math]

 

 

以上より、

 

[math]A^{n}=\left( -1\right) ^{n}A^{2}[/math]　と推測できる。

 

 

ｎ＝２，３で上の式は成立することは明らかである。

 

また、ｎ＝ｋで成り立つと仮定すると、ｎ＝ｋ＋１では

 

[math]A^{k+1}=A^{k}A=\left( -1\right) ^{k}A^{2}A=\left( -1\right) ^{k}A^{3}=\left( -1\right) ^{k+1}A^{2}[/math]

 

 

より数学的帰納法からｎ≧２の整数のとき、

 

[math]A^{n}=\left( -1\right) ^{n}A^{2}[/math]が成り立つ

 

 

また、

 

[math]A^{2}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}[/math]

 

 

[math]A^{n}=\left( -1\right) ^{n}A^{2}=\left( -1\right) ^{n}\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}[/math]

 

したがって

 

[math]\left( -1\right) ^{n}\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}[/math]・・・②の答え