ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

実数を係数とする３つの１変数多項式

$f\left( X\right) =a_{1}X^{3}+a_{2}X+a_{3}$
$g\left( X\right) =b_{1}X^{3}+b_{2}X+b_{3}$
$h\left( X\right) =c_{1}X^{3}+c_{2}X+c_{3}$

と行列式$D=\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{pmatrix}$　を用いて

$\begin{vmatrix} f\left( X\right) & g\left( X\right) & h\left( X\right) \\ f'\left( X\right) & g'\left( X\right) & h'\left( X\right) \\ f''\left( X\right) & g''\left( X\right) & h''\left( X\right) \end{vmatrix}$　の行列式を表現する。

$f\left( X\right) =a_{1}X^{3}+a_{2}X+a_{3}$

$g\left( X\right) =b_{1}X^{3}+b_{2}X+b_{3}$

$h\left( X\right) =c_{1}X^{3}+c_{2}X+c_{3}$

でこれらの導関数、第２次導関数はそれぞれ

$\begin{pmatrix} f\left( X\right) \\ g\left( X\right) \\ h\left( X\right) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{1} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X^{3} \\ X　\\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} f'\left( X\right) \\ g'\left( X\right) \\ h'\left( X\right) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{1} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3X^{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} f''\left( X\right) \\ g''\left( X\right) \\ h''\left( X\right) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{1} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6X \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

と表すことができる。よって次のようにまとめて表すことができる。

$\begin{pmatrix} f\left( X\right) & f'\left( X\right) & f''\left( X\right) \\ g\left( X\right) & g'\left( X\right) & g''\left( X\right) \\ h\left( X\right) & h'\left( X\right) & h''\left( X\right) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{1} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X^{3} & 3X^{2} & 6X \\ X & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

両辺の行列式を求める。

$\begin{vmatrix} f\left( X\right) & f'\left( X\right) & f''\left( X\right) \\ g\left( X\right) & g'\left( X\right) & g''\left( X\right) \\ h\left( X\right) & h'\left( X\right) & h''\left( X\right) \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{1} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix}\begin{vmatrix} X^{3} & 3X^{2} & 6X \\ X & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

左辺の転置行列も行列式の値は同じなので

$\begin{vmatrix} f\left( X\right) & g\left( X\right) & h\left( X\right) \\ f'\left( X\right) & g'\left( X\right) & h'\left( X\right) \\ f''\left( X\right) & g''\left( X\right) & h''\left( X\right) \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{1} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix}\begin{vmatrix} X^{3} & 3X^{2} & 6X \\ X & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}＝－６XD$