
全微分可能な2変数関数f(x,y)い対して、g(rcosθ,rsinθ)とおくとき
[math]\dfrac {\partial f}{\partial x}=\dfrac {\partial g}{\partial r}\cdot a\left( r,\theta \right) +\dfrac {\partial g}{\partial \theta }\cdot b\left( r,\theta \right)[/math]
[math]\dfrac {\partial f}{\partial y}=\dfrac {\partial f}{\partial r}\cdot c\left( r,\theta \right) +\dfrac {\partial g}{\partial \theta }\cdot d\left( r,\theta \right)[/math]
を満たすときの関数のとき
[math]a\left( r,\theta \right) ,b\left( r,\theta \right) ,c\left( r,\theta \right) ,d\left( r,\theta \right)[/math] を求める。
[math]r^{2}=x^{2}+y^{2},\tan \theta =\dfrac {y}{x}[/math]
[math]2r\dfrac {\partial r}{\partial x}=2x,\dfrac {1}{\cos ^{2}}\dfrac {\partial \theta }{\partial x}=-\dfrac {y}{x^{2}}[/math]
[math]\dfrac {\partial r}{\partial x}=\cos \theta ,\dfrac {\partial \theta }{\partial x}=-\dfrac {\sin \theta }{r}[/math]
[math]\dfrac {\partial f}{\partial x}=\dfrac {\partial g}{\partial r}\dfrac {\partial r}{\partial x}+\dfrac {\partial g}{\partial \theta }\dfrac {\partial \theta }{\partial x}[/math]
最初の式と比較すると
[math]a\left( r,\theta \right) =\cos \theta ,b\left( r,\theta \right) =-\dfrac {\sin \theta }{r}[/math]・・・答え
同様に
[math]2r\dfrac {\partial r}{\partial x}=2x,\dfrac {\partial \theta }{\partial y}=\dfrac {1}{x}[/math]
[math]c\left( r,\theta \right) =\sin \theta ,d\left( r,\theta \right) =\dfrac {\cos \theta }{r}[/math]・・・答え
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