ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

 

 

 

３次正方行列$M=\begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 0 & x \end{pmatrix}$についてｘは$\left| x\right| <1$　を満たす実数である。

 

このときの$M^{k}$の（１，３）成分を求める。

 

 

 

（１）

 

 

Eを３次単位行列として

 

 

$N=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$　とするとM=ｘE＋Nで表せる。

 

 

EN=NEより二項定理が適用できる。

 

 

$N^{2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},N^{3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=O$

 

 

 

３乗以上で零行列になる。

 

 

 

$M^{k}=\left( xE+N\right) ^{k}=\sum ^{k}_{r=0}\left( kCr\cdot x^{k-r}\cdot N^{r}\right)$

 

 

 

$=x^{k}E+kx^{k-1}N+\dfrac {k\left( k-1\right) x^{k-2}}{2}N^{2}$

 

 

$=\begin{pmatrix} x^{k} & 0 & 0 \\ 0 & x^{k} & 0 \\ 0 & 0 & x^{k} \end{pmatrix}+k\begin{pmatrix} 0 & x^{k-1} & x^{k}-1 \\ 0 & 0 & x^{k}-1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+\dfrac {k\left( k-1\right) }{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & x^{k-2} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

 

 

 

(1,3)の成分は

 

 

$kx^{k-1}+\dfrac {k\left( k-1\right) x^{k-2}}{2}\left( k\geqq 2\right)$・・・答え

 

 

 

 

（２）

次の行列の総和Sの（１，３）の成分を求める。

 

 

 

$S=E+\sum ^{\infty }_{n=1}M^{n}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x. & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 0 & x \end{pmatrix}+\sum ^{\infty }_{k=2}M^{k}$

 

 

 

Sの（１，３）成分は

 

$1+\sum ^{\infty }_{k=2}\left( kx^{k-1}+\dfrac {k\left( k-1\right) }{2}x^{k-2}\right)$

 

 

 

$f\left( x\right) =1+\sum ^{\infty }_{k=2}\left( kx^{k-1}+\dfrac {k\left( k-1\right) }{2}x^{k-2}\right)$・・・①　に対して

 

 

 

$g\left( x\right) =\sum ^{\infty }_{k=0}x^{k}=\dfrac {1}{1-x}$

 

 

$g'\left( x\right) =\sum ^{\infty }_{k=1}kx^{k-1}=1+\sum ^{\infty }_{x=2}kx^{k-1}=\dfrac {1}{\left( 1-x\right) ^{2}}$

 

 

 

$g''\left( x\right) =\sum ^{\infty }_{k=2}k\left( k-1\right) x^{k-2}=\dfrac {2}{\left( 1-x\right) ^{3}}$

 

 

これらを①の式に代入すると

 

 

$t\left( x\right) =g'\left( x\right) +\dfrac {g''\left( x\right) }{2}=\dfrac {1}{\left( 1-x\right) ^{2}}+\dfrac {1}{\left( 1-x\right) ^{3}}=\dfrac {2-x}{\left( 1-x\right) ^{3}}$・・・答え