ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

[math]\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}[/math] の２つ正方行列のなす角　θ　を求める。　

[math]A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}[/math]  とすると

[math]{}^t\!A B=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5 & 3 \\ -12 & 8 \end{pmatrix}[/math]となる。

[math]\left( A,B\right) =tr\left( {}^t\!AB\right) =-5+8=3[/math]

[math]{}^t\!A A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 5 & 13 \end{pmatrix}[/math]

[math]{}^t\!B B=\begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 13 & -7 \\ -7 & 5 \end{pmatrix}[/math]

[math]\left( A,A\right) =tr\left({}^t\! A A\right) =2+13=15[/math]

[math]\left( B,B\right) =tr\left( {}^t\!B B\right) =13+5=18[/math]

[math]\cos \theta =\dfrac {\left( A,B\right) }{\sqrt {\left( A,A\right) \cdot \left( B,B\right) }}=\dfrac {3}{\sqrt {15}\cdot \sqrt {18}}=\dfrac {1}{\sqrt {30}}[/math]・・・答え