ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

$\int ^{3}_{0}dy\int ^{\sqrt {\dfrac {y}{3}}}_{0}\log _{e}\left( x^{3}-3x+3\right) dx$

を求める。

積分領域Ｄは

$0\leqq x\leqq \sqrt {\dfrac {y}{3}}\Rightarrow 0\leqq x^{2}\leqq \dfrac {y}{3}$

$\Rightarrow 0\leqq 3x^{2}\leqq y\Rightarrow 3x^{2}\leqq y\leqq 1\times 3$

$\int ^{3}_{0}dy\int ^{\sqrt {\dfrac {y}{3}}}_{0}\log _{e}\left( x^{3}-3x+3\right) dx$

$=\int ^{1}_{0}dx\int ^{3}_{3x^{2}}\log _{e}\left( x^{3}-3x+3\right) dy$

$=\int ^{1}_{0}\left( 3-3x^{2}\right) \log _{e}\left( x^{3}-3x+3\right) dx$

$=\int ^{1}_{0}\left( -x^{3}+3x-3\right) '\log _{e}\left( x^{3}-3x+3\right)$

部分積分をすると

$=-\left[ \left( x^{3}-3x+3\right) \cdot \log _{e}\left( x^{3}-3x+3\right) \right] ^{1}_{0}+\int ^{1}_{0}\dfrac {3x^{2}-3}{x^{3}-3x+3}　\cdot　( x^{3}-3x+3)dx$

$=3\log _{e}3+\left[ x^{3}-3x\right] ^{1}_{0}=3\log _{e}3-2$・・・答え