変数変換の二重積分（重積分１１）

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ｘｙ平面において、０≦２ｘ－ｙ≦６かつ１≦ｘ＋ｙ≦３を満たす領域をDとしたとき、

$\int \int _{D}\dfrac {2x^{2}+xy-y^{2}}{x^{2}+2xy+y^{2}+1}dxdy$ の２重積分を解く。

$u=2x-y,v=x+y$ として変数変換すると、

$x=\dfrac {u+v}{3},y=\dfrac {-u+2v}{3}$

ヤコビアン $\left| J\right| =\begin{vmatrix} \dfrac {1}{3} & \dfrac {1}{3} \\ -\dfrac {1}{3} & \dfrac {2}{3} \end{vmatrix}=\dfrac {1}{3}$

$\int \int _{D}\dfrac {2x^{2}+xy-y^{2}}{x^{2}+2xy+y^{2}+1}dxdy=\int ^{6}_{0}udu\int ^{3}_{1}\dfrac {v}{v^{2}+1}\cdot \dfrac {1}{3}\cdot dv$

$=\dfrac {1}{6}\cdot \left[ \dfrac {u^{2}}{2}\right] ^{6}_{0}\cdot \left[ \log _{e}\left( v^{2}+1\right) \right] ^{3}_{1}$

$= \dfrac {1}{6}\cdot 18\left( \log _{e}10-\log _{e}2\right) =3\log _{e}5$ ・・・答え

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